從小培養運用抽象基本思想的能力論文

一、請先欣賞一個教學片段

最近聽了一年級《7的認識》一課,執教的焉老師令人欽佩,她讓六、七歲的孩子都能體驗看似艱深的抽象思想:

(觀察、操作)“請大家數數這幾排圖片裡各有幾件東西。”“都是7個!”-→(分析、比較相異特徵)“這幾排東西有哪些地方不同呀?”“名字不同,顏色不同,用處不同……” -→(抽取共同特徵)“又有哪些地方相同呢?”“多少相同,數量相同,每排都是7個。”-→(捨棄非本質的相異特徵,將共同的數量特徵抽象為點)“現在我們只管它們的數量,不管別的,每件東西都只用一個圓點表示(圖示7個圓點組成的集合),數數有幾個點就知道是7個了。”-→(再將點數抽象為符號性的數)“還可以更簡便地用數字7來表示這個數量(出示數字7)”。

課後我問焉老師為什麼這樣教,她說:“讓學生先把實物抽象成圓點,再把圓點的數量抽象成數字7,好讓他們體驗抽象思想。”

這樣教真好,符合新版課標強調“基本思想”的要求——即使對一年級國小生,也努力讓他們體驗數學基本思想之一的“抽象思想”!

但以前我們常常只把“抽象”看成形容詞,比如抱怨說“數學太抽象了”,現在則要把它看成動詞——抽象是一種思維活動,抽象思想就是展開這種思維活動的態度與方法。

二、“抽象”並不難,處處都在用

何為“抽象”?課標沒做解釋,百度的解釋是:“抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質性的特徵,而捨棄其非本質的特徵。”

別擔心“抽象”很難——其實從生下來開始,我們早就處處在用它了!

語言:連幼兒都會說的話或寫的字都是抽象的——他說的或寫的“蘋果”只是聲音符號或線條符號,並不是能吃的真蘋果。

日常生活:連孩子都能依據抽象的“白菜標準”來判斷“那是白菜”:菜兒們體積多大、有幾片葉子、含有多少營養成分、種它的農民累不累等“非本質特徵”都捨棄了,只抽取形狀、顏色等所有白菜的“共同本質特徵”來衡量。

日常工作:你擔心自己一個人忙不過來,領導說“去找別人幫忙嘛”,那你就會根據“能人”的抽象標準找到——健康、能幹、工作態度好即可,而不必考慮他是男是女、漂不漂亮、有錢沒錢等等。

自然科學學習(以物理為例):國中所學的直線勻速運動其實是抽象的,只把運動物體假設為一個質點且只考慮其運動方向和速度都不變的共同特徵,而不考慮它們形狀、體積、材質等等非本質特徵。

社會科學學習(以歷史為例):高中學習抗日戰爭勝利的經驗,只需考慮影響戰爭勝負的政治、經濟、軍事、外交等本質性因素,至於中國人和日本人怎樣吃飯、怎樣戀愛結婚、怎樣唱歌跳舞之類非本質因素基本不予考慮。

哲學思考(以教育哲學為例):哲學思考要用的概念都是極抽象的思維產品,我們所思考的“教育”是所有的人或機構所進行的培養人活動,而不是“哪個具體的人或哪所具體的學校所進行的具體教育”。

那麼數學裡的抽象有哪些特點呢?

三、課標對“數學抽象”的說明

課標說:“數學作為對於客觀現象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具”。我體會這句話的意思是:數學進行抽象的物件是“客觀現象”,抽象的產物則是“數學的語言和工具”。

但究竟是從怎樣的“客觀現象”中“抽象概括”出怎樣的“科學語言和工具”呢?課標只離散、模糊地提到5種情形:“從日常生活中抽象出數”,“從具體情境中抽象出數學符號”,“經歷……代數的抽象”,“根據物體特徵抽象出幾何圖形”,“從實際背景中抽象出數學問題”。

雖然不能用專著標準來要求課標,但它畢竟不能滿足我們深入瞭解“數學抽象”的需要,至少:第一,何為“日常生活”、“具體情境”、“實際背景”?第二,數學課程三大內容中,數與代數、圖形與幾何說到了,統計與概率呢?第三,“代數的抽象”——對什麼進行抽象?得到的是什麼?第四,數學符號那麼多,籠統一說就夠了嗎?

所以,下一段我將試著簡要做些分析。

四、我理解的數學抽象

1、一般抽象的物件與產物有兩種:

皮亞傑說:“經驗具有兩種不同的形式:物理的經驗和邏輯-數理的經驗,……物理的經驗包括對於物件採取行動並通過對於這些物件進行抽繹(按:即“抽象加演繹”),而發現物件的特性:……邏輯-數理的經驗……也是對於物件採取行動,但是這種發現這些物件特性的抽象過程並不是指向物件本身而是指向影響這些物件的行動:……”(《教育科學與兒童心理學》,皮亞傑著,傅統先譯,文化教育出版社1981年11月版第40頁)

解釋一下:“物理的`經驗”指操作自身之外事物所獲得的經驗,此時抽象的物件是這些外在事物,產物則是這些外在事物的特性,如生活體驗得知蘋果的味道、物理學習得知某物體的質量、化學學習得知某物質是否易燃、生物學習得知某植物能活多久等等(可稱為“陳述性知識”)。“邏輯-數理的經驗”指反思自己對外在事物的操作活動所獲得的經驗,此時抽象的物件是自己的操作活動即“行動”,而產物則應該是“行為方式”——肢體操作方法、工具運用方法、思維方法、問題解決方法等(即我們常說的“方法知識”、“程式性知識”)。

2、數學抽象的物件與產物因此有三種,且第二種更重要:

(1)物理的經驗:數、式、數量關係結構、幾何概念、幾何圖形、概率等等屬於物理的經驗,它抽象的物件是外在事物,產物是該事物的數量特性或形狀特性。表示可變數量的字母符號、表示相等與不等的符號、數字與符號組成的代數式或函式式等也屬此類。

(2)邏輯-數理的經驗:表示運算(邏輯推理也是一種運算)的符號(+、-、×、÷、√、∈、∪、∩、f(x)、sin、㏒、∑、∏、dy/dx、∫、∵、∴、=>等)、演算法算律、數學方法、數學思想等等則屬於邏輯-數理的經驗,它抽象的物件是思考者自己的行動(用手算、用心算、用工具算等等),產物是相關的行為方式(方法)。

(3)混合經驗:如公理和定理就是上述兩種的混合。公理“過直線外一點有且只有一條直線與其平行”,既概括了大量的事實真相,又是一種推理方法;定理“兩三角形如有兩組對角分別相等則它們相似”的情形也相同。

哪一種更重要——第二種:用皮亞傑的話說是“思想的影像方面(按:指物理經驗)總是從屬於思想的運算方面(按:指邏輯-數理經驗)的”(同前書第37頁),用加德納多元智慧理論來說第二種是重要的“數理邏輯智慧”,而新課標則高度重視數學思想方法教育。

五、對搞好抽象思想教育的建議

1、關鍵是我們自己要重視抽象思想的教育,這樣才能落實課標要求。

2、抽象思想的運用很多,絕不限於“數的認識”,要善於抓住各種機會主動開展抽象思想教育。

3、數學抽象不是一蹴而就而是有個過程的:對一組事物中的每一個分析出各自的眾多特徵-→比較這些特徵,確定哪些是不同的、哪些是相同的-→把相同的那些特徵概括起來,予以命名,從而得出抽象概念。

4、所以,要象課標說的那樣,既“要重視直觀”,又要“處理好直觀與抽象的關係”——從直觀出發、不滿足於直觀、積極抽象出概念。

5、如課標所說,“組織學生開展實驗、操作、嘗試等活動,引導學生進行觀察、分析,抽象概括”,即深刻經歷和體驗抽象過程。

6、要重視數學符號的教育價值,正如課標所說:“注重發展學生的數感、符號意識……能夠理解並且運用符號表示數、數量關係和變化規律;知道使用符號可以進行運算和推理,得到的結論具有一般性。”