數學歸納法證明的步驟

數學歸納法是一種數學證明方法，通常被用於證明某個給定命題在整個（或者區域性）自然數範圍內成立。以下是小編精心準備的數學歸納法證明的步驟，大家可以參考以下內容哦！

基本步驟

（一）第一數學歸納法：

一般地,證明一個與自然數n有關的命題P(n）,有如下步驟：

（1）證明當n取第一個值n0時命題成立.n0對於一般數列取值為0或1,但也有特殊情況；

（2）假設當n=k（k≥n0,k為自然數）時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.

綜合（1）（2）,對一切自然數n（≥n0）,命題P(n）都成立.

（二）第二數學歸納法：

對於某個與自然數有關的命題P(n）,

（1）驗證n=n0時P(n）成立；

（2）假設n0≤nn0）成立,能推出Q(k）成立,假設 Q(k）成立,能推出 P(k+1）成立；

綜合（1）（2）,對一切自然數n（≥n0）,P(n）,Q(n）都成立.

原理

最簡單和常見的數學歸納法是證明當n等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：

證明當n= 1時命題成立。

假設n=m時命題成立，那麼可以推匯出在n=m+1時命題也成立。（m代表任意自然數）

這種方法的原理在於：首先證明在某個起點值時命題成立，然後證明從一個值到下一個值的過程有效。當這兩點都已經證明，那麼任意值都可以通過反覆使用這個方法推匯出來。把這個方法想成多米諾效應也許更容易理解一些。例如：你有一列很長的直立著的多米諾骨牌，如果你可以：

證明第一張骨牌會倒。

證明只要任意一張骨牌倒了，那麼與其相鄰的下一張骨牌也會倒。

解題要點

數學歸納法對解題的形式要求嚴格，數學歸納法解題過程中，

第一步：驗證n取第一個自然數時成立

第二步：假設n=k時成立，然後以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。

最後一步總結表述。

需要強調是數學歸納法的兩步都很重要，缺一不可，否則可能得到下面的荒謬證明：

證明1：所有的馬都是一種顏色

首先，第一步，這個命題對n=1時成立，即，只有1匹馬時，馬的顏色只有一種。

第二步，假設這個命題對n成立，即假設任何n匹馬都是一種顏色。那麼當我們有n+1匹馬時，不妨把它們編好號：

1, 2, 3……n, n+1

對其中（1、2……n）這些馬，由我們的假設可以得到，它們都是同一種顏色；

對（2、3……n、n+1）這些馬，我們也可以得到它們是一種顏色；

由於這兩組中都有（2、3、……n）這些馬，所以可以得到，這n+1種馬都是同一種顏色。

這個證明的.錯誤來於推理的第二步：當n=1時，n+1=2，此時馬的編號只有1、2，那麼分的兩組是（1）和（2）——它們沒有交集，所以第二步的推論是錯誤的。數學歸納法第二步要求n→n+1過程對n=1，2，3……的數都成立，而上面的證明就好比多米諾骨牌的第一塊和第二塊之間間隔太大，推倒了第一塊，但它不會推倒第二塊。即使我們知道第二塊倒下會推倒第三塊等等，但這個過程早已在第一和第二塊之間就中斷了。

證明2：舉例證明下面的定理

——等差數列求和公式

第一步，驗證該公式在 n = 1 時成立。即有左邊=1，右邊=

=1，所以這個公式在n = 1時成立。

第二步，需要證明假設n = m 時公式成立，那麼可以推匯出n = m+1 時公式也成立。步驟如下：

假設n = m 時公式成立，即

（等式1）

然後在等式兩邊同時分別加上m + 1 得到

（等式2）

這就是n = m+1 時的等式。我們下一步需要根據 等式1證明 等式2 成立。通過因式分解合併，等式2的右邊

也就是

這樣我們就完成了由n=m成立推匯出n=m+1成立的過程，證畢。

結論：對於任意自然數n，公式均成立。

對於以上例2的分析

在這個證明中，歸納的過程如下：

首先證明n=1成立。

然後證明從n=m 成立可以推匯出n=m+1 也成立（這裡實際應用的是演繹推理）。

根據上兩條從n=1 成立可以推匯出n=1+1，也就是n=2 成立。

繼續推導，可以知道n=3 成立。

從 n=3 成立可以推匯出n=4 也成立……

不斷重複3的推導過程（這就是所謂“歸納”推理的地方）。

我們便可以下結論：對於任意非零自然數n，公式成立。