《圓和圓的位置關係》教案
教學目標
(一)教學知識點
1．瞭解圓與圓之間的幾種位置關係．
2．瞭解兩圓外切、內切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關係的聯絡．
(二) 能力訓練要求
1．經歷探索兩個圓之間位置關係的過程，訓練學生的探索能力．
2．通過平移實驗直觀地探索圓和圓的位置關係，發展學生的識圖能力和動手操作能力．
(三)情感與價值觀要求
1．通過探索圓和圓的位置關係，體驗數學活動充滿著探索與創造，感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性．
2．經歷探究圖形的位置關係，豐富對現實空間及圖形的認識，發展形象思維．
教學重點
探索圓與圓之間的幾種位置關係，瞭解兩圓外切、內切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關係的聯絡．
教學難點
探索兩個圓之間的位置關係，以及外切、內切時兩圓圓心距d、半徑R和r的數量關係的過程．
教學方法
教師講解與學生合作交流探索法
教具準備
投 影片三張
第一張：(記作3． 6A)
第二張：(記作3．6B)
第三張：(記作3．6C)
教學過程
Ⅰ．創設問題情境，引入新課
[師]我們已經研究過點和圓的位置關係，分別為點在圓內、點在圓上、點在圓外三種；還探究了直線和圓的位置關係，分別為相離、相切、相交．它們的位置關係都有三種．今天我們要學習的內容是圓和圓的位置關係，那麼結果是不是也是三種呢？沒有調查就沒有發言權．下面我們就來進行有關探討．
Ⅱ．新課講解
一、想一想
[師]大家思考一下，在現實生活中你見過兩個圓的哪些位置關係呢？
[生]如自行車的兩個車輪間的位置關 系；車輪輪胎的兩個邊界圓間的位置關係；用一隻手拿住大小兩個圓環時兩個圓環間的位置關係等．
[師]很好，現實生活中我們見過的有關兩個圓的位置很多．下面我們就來討論這些位置關係分別是什麼．
二、探索圓和圓的位置關係
在一張透明紙上作一個⊙O．再在另一張透明紙上作一個與⊙O1半徑不等的⊙O2．把兩張透明紙疊在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1與⊙O2有幾種位置關係？
[師]請大家先自己動手操作，總結出不同的位置關係，然後互相交流．
[生]我總結出共有五種位置關係，如下圖：
[師]大家的歸納、總結能力很強，能說出五種位置關係中各自有什麼特點嗎？從公共點的個數和一個圓上的點在另一個圓的內部還是外 部來考慮．
[生]如圖：(1)外離：兩個圓沒有公共點，並且每一個圓上的點都在另一個圓的外部；
(2)外切：兩個圓有唯一公共點，除公共點外一個圓上的點都在另一個圓的外部；
(3)相交：兩個圓有兩個公共點，一 個圓上的點有的在另一個圓的外部，有的在另一個圓的內部；
(4)內切：兩個圓有一個公共點，除公共點外，⊙O2上的點在⊙O1的內部；
(5)內含：兩個圓沒有公共點，⊙O2上的點都在⊙O1的內部．
[師]總結得很出色，如果只從公共點的個數來考慮，上面的五種位置關係中有相同型別嗎？
[生]外離和內含都沒有公共點；外切和內切都有一個公共點；相交有兩個公共點．
[師]因此只從公共點的個數來考慮，可分為相離、相切、相交三種．
經過大家的討論我們可知：
投影片(24.3A)
(1)如果從公共點的個數，和一個圓上的點在另一個圓的外部還是內部來考慮，兩個圓的位置關係有五種：外離、外切、相交、內切、內含．
(2)如果只從公共點的個數來考慮分三種：相離、相切、相交，並且相離 ，相切
三、例題講解
投影片(24.3B)
兩個同樣大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如圖所示(點O，O＇是圓心)，分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直 線，TP、NP分別為兩圓的切線，求TPN的大小．
分析：因為兩個圓大小相同，所以 半徑OP＝O＇P＝OO＇，又TP、NP分別為兩圓的切 線，所以PTOP，PNO＇P，即OPT＝O＇PN＝90，所以TPN等於36 0減去OPT＋O＇PN＋OPO＇即可．
解 ：∵OP＝OO＇＝PO＇，
△PO＇O是一個等邊三角形．
OPO＇＝60．
又∵TP與NP分別為兩圓的切線，
TPO ＝NPO＇＝90．
TPN＝360－290－60＝120．
四、想一想
如圖(1)，⊙O1與⊙O2外切，這個圖是 軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什麼？切點與對稱軸有什麼位置關係？如果⊙O1與⊙O2內切呢？〔如圖(2 )〕
[師]我們知道圓是軸對稱圖形，對稱軸是任一直徑所在的直線，兩個圓是否也組成一 個軸對稱圖形呢？這就要看切點T是否在連線兩個圓心的直線上，下面我們用反證法來證明．反證法的步驟有三 步：第一步是假設結論不成立；第二步是根據假設推出和已知條件或定理相矛盾的結論；第三步是證明假設錯誤，則原來的結論成立．
證明：假設切點T不在O1O2上．
因為圓是軸對稱圖形，所以T關於O1O2的對稱點T＇也是兩圓的`公共點，這與已知條件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假設不成立．
則T在O1O2上．
由此可知圖(1)是軸對稱圖形，對 稱軸是兩圓的連心線，切點與對稱軸的位置關係是切點在對稱軸上．
在圖(2)中應有同樣的結論．
通過上面的討論，我們可以得出結論：兩圓相內切或外切時，兩圓的連心線一定經過切點，圖(1)和圖(2)都是軸對稱圖形，對稱軸是它們的連心 線．
五、議一議
投影片(24.3C)
設兩圓的半徑分別為R和r．
(1)當兩圓外切時，兩圓圓心之間的距離(簡稱圓心距)d與R和r具有怎樣的關係？反之當d與R和r滿足這一關係時，這兩個圓一定外切嗎？
(2)當兩圓內切時(R＞r)，圓心距d與R和r具有怎樣的關係？反之，當d與R和r滿足這一關係時，這兩個圓一定內切嗎？
[師]如圖，請大家互相交流．
[生]在圖(1)中，兩圓相外切，切點是A．因為切點A在連心線 O1O2上，所以O1O2＝O1A＋O2A＝R＋r，即d＝R＋r；反之，當d＝R＋r時，說明圓心距等於兩圓半徑之和，O1、A、O2在一條直線上，所以⊙O1與⊙O2只有一個交點A，即⊙O1與⊙O2外切．
在圖(2)中，⊙O1與⊙O2相內切，切點是 B．因為切點B在連心線O1O2上，所以 O1O2＝O1B－O2B，即d＝R－r；反之，當d＝R－r時，圓心距等於兩半徑之差，即O1O2＝O1B－O2B，說明O1、O2、B在一條直線上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1與⊙O2內切．
[師]由此可知，當兩圓相外切時，有d＝R＋r，反過來，當d＝R＋r時，兩圓相外切，即兩圓相外切 d＝R＋r．
當兩圓相內切時，有d＝R－r，反過來，當d＝R－r時，兩圓相內 切，即兩圓相內切 d＝R－r．
Ⅲ．課堂練習
隨堂練習
Ⅳ．課時小結
本節課學習瞭如下內容：
1．探索圓和圓的五種位置關係；
2．討論在兩圓外切或內切情況下，圖形的軸對稱性及對稱軸，以及切點和對稱軸的位置關係；
3． 探討在兩圓外切或內切時，圓心距d與R和r之間的關係．
Ⅴ．課後作業 習題24.3
Ⅵ．活動與探究
已知圖中各圓兩兩相切，⊙O的半徑為2R，⊙O1、⊙O2的半徑為R，求⊙O3的半徑．
分析：根據兩圓相外切連心線的長為兩半徑之和，如果設⊙O 3的半徑為r，則O1O3＝O2O3＝R＋r，連線OO3就有OO3O1O2，所以OO2O3構成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半徑r．
解：連線O2O3、OO3，
O2OO3＝90，OO3＝2R－r，
O2O3＝R＋r，OO2＝R．
(R＋r)2＝(2R－r)2＋R2．
r＝ R．
板書設計
24.3 圓和圓的位置關係
一、1．想一想
2．探索圓和圓的位置關係
3．例題講解
4．想一想
5．議一議
二、課堂練習
三、課時小結
四、課後作業
