平面向量的數量積的物理背景及其含義教學反思

1.1 教材的地位與作用

本節課是在學生學習了向量的概念和向量的加法、減法、數乘向量等線性運算的基礎上，探索向量的又一種新的運算，它既是前面所學知識和方法的延續，又是後繼學習解三角形、解析幾何以及空間向量等內容的基礎，因此本節內容具有承上啟下的重要作用.1.2 學情分析

（1）學生已經學習了任意角的三角函式、向量的概念和線性運算等知識.

（2）學生對向量的物理背景有了一定的瞭解.如：力、位移、速度的合成與分解，力做功的有關知識.

（3）學生已經具備了一定的數學建模能力，能從簡單的物理背景及生活背景抽象出數學概念.

2 教學目標分析

依據課程標準和以上分析，制定本節課的三維目標如下：

知識與技能目標

通過物理中“功”的例項，理解平面向量數量積的含義及其物理意義，掌握平面向量數量積的性質.

過程與方法目標

經歷從物理背景的分析，抽象概括出概念的過程，培養學生歸納概括，類比遷移的能力；經歷通過不同的方式探究、發現平面向量數量積性質的過程，體會從特殊到一般、分類討論、數形結合的數學思想方法.

情感、態度、價值觀目標

通過師生互動，生生互動的教學活動過程，形成學生的體驗性認識，體會各學科之間的密切聯絡，感受知識的形成過程，提高數學學習的興趣，形成獨立自主的鑽研精神和合作交流的科學態度.

3 重點、難點分析

根據教學目標以及學情分析，確定本節課的教學重點、難點.

重點：平面向量數量積的概念和性質.

難點：向量在軸上的正射影的概念的理解和平面向量數量積的性質的發現.

在教學中，注意遵循學生的認知規律.從學生感興趣的物理例項入手，通過層層分析， 形成數量積的概念，並經歷概念辨析、深化理解、學以致用等過程，來突出重點.通過練習和探究問題的設計，將五個性質分散開來，通過課件動畫、問題引領、自主探究、合作交流等手段，從理性認識到實踐練習，再到應用，使性質自然呈現，既突出了重點，又突破了難點.

4 教學策略分析

基於數量積的知識特點及學生的認知規律，採用啟發式和問題探究相結合的教學方法.著名數學教育家波利亞指出：“學習任何東西，最好的途徑是自己去發現”.因此，指導學生採用發現式學習法.在課堂上堅持以教師為主導，學生為主體，以抽象類比與問題探究為主線.同時，為了有效實現教學目標，採用多媒體和自編學案輔助教學.

5 教學過程分析

本節課的教學流程如下：

具體分析如下：

5.1 創設情境 展示背景

教師錄影展示“大力士拉車”的情境例項，提出物理問題.

問題1 大力士拉車，沿著繩子方向上的力為F，車移動的位移是s，力和位移的夾角為θ，大力士所做的功為多少？

設計意圖 從學生已有的認知水平出發，通過熟悉的生活例項，創設數量積的物理背景，激發學生的學習熱情.

5.2 分析背景 形成概念

該環節，依據本套教材的特點，以物理背景作為總的抓手，通過抽象、概括、歸納，形成了兩個向量的夾角、向量在軸上的正射影和向量的數量積定義三個概念.

第一步：背景的初次分析

問題2 決定功的大小的量有哪幾個？它們是純量還是向量？當力和位移的大小一定時，功的大小取決於那個量？

問題3 這個夾角抽象到我們數學中，就是今天我們要學習的兩個向量的夾角，把力F、位移s換作數學中任意兩個非零向量a與b，你能嘗試著給出向量a與b夾角的概念嗎？

設計意圖 通過力做功的幾個因素的分析，突出夾角在做功中的作用，形成兩個向量夾角的概念.

1.兩個向量的夾角

已知非零向量a與b，作OA=a，OB=b，則∠AOB稱作向量a與b的夾角，記作：〈a，b〉.

問題4 下面幾種情形中（銳角、鈍角、直角、共線同向、共線反向），兩向量的夾角分別是什麼角？

設計意圖 通過幾種類型的夾角的給出，讓學生直觀感知夾角的範圍，幫助學生理解夾角範圍規定的合理性.

規定： 0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉=〈b，a〉.

特別的：當〈a，b〉=π2時，叫做a與b垂直，記作a⊥b；

兩向量的垂直符號同幾何中的垂直符號是一致的.

問題5 請回顧：0的方向是怎樣規定的？

規定：0與任意向量垂直.

前面曾規定：0與任意向量平行.

設計意圖 概念呈現後，注意與前面所學知識進行對比，便於學生理解，記憶.圖1

練習： 如圖1，正△ABC中，求

（1）AC與AB的夾角；

（2）AB與BC的夾角.

注：確定兩向量的夾角的關鍵是：通過平移使兩向量共起點.

設計意圖 及時鞏固所學概念，強調確定兩向量夾角的一般方法.

第二步：背景的再次分析

問題6 真正使汽車前進的力是什麼？它的大小是多少？

設計意圖 讓學生藉助已有的認知經驗，類比物理背景中拉力F在位移方向上的分力，它的大小是Fcos θ，自然引出向量在軸上的正射影及其數量的.概念.從特殊到一般，符合學生的認知規律，突破難點.

2.向量在軸上的正射影

已知向量a和軸l，作OA=a，過點O、A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1、A1，則向量O1A1叫做向量a在軸l上的正射影（簡稱射影）.

向量在軸上的正射影的數量

該射影在軸l上的座標， 稱作a在軸l上的數量或在軸l的方向上的數量. OA=a在軸l上正射影的座標記作： al，若向量a的方向與軸l的正向所成的角為θ，則al=|a|cos θ.

問題7 向量在軸上的正射影與向量在軸上的正射影的數量有什麼區別？

問題8 向量在軸上的正射影的數量一定是正實數嗎？

注： a在軸l上的正射影的數量是個實數，可正、可負、可為零.

向量a在b方向上的正射影及數量

如果向量b在軸l上且與軸同向，那麼，向量O1A1叫做向量a在向量b方向上的正射影，它的數量是acos.

設計意圖 讓學生理解正射影及其數量的含義，並引申出向量a在向量b方向上的正射影及其數量，為數量積的概念的學習做準備