小升中數學測試試題及解析

一、求被除數類

1. 同餘加餘，同差減差

例1.某數被7除餘6，被5除餘3，被3除餘3，求此數最小是多少？

解：因為被5除餘3，被3除餘3中餘數相同，即都是3(同餘)，所以要先求滿足5和3的最小數，[5、3]=15，

15+3=18，

18÷7=2……4不餘6，(不對)

15×2=30

30+3)÷7=4……5不餘6(不對)

15×3+3)÷7=6……6(對)

所以滿足條件的最小數是48。

例2.某數被3除餘2，被5除餘4，被7除餘5，這個數最小是多少？

解：因為被3除餘2，被5除餘4中都差1就可整除，即同差，所以要先滿足5和3的最小數，[5、3]=15，

15-1=14，

14÷7=2……0不餘5(不對)

15×6-1)÷7=12……5

所以滿足條件的最小數是89。

例3.一個四位數，它被131除餘112，被132除餘98，求這個四位數？

解：除數相差132-131=1，餘數相差112-98=14，說明這個四位數中有14個131還餘112。所以131×14+112=1946。

二、求除數類

1.若a÷c=……r；b÷c=……r.則cㄏ(a-b)。

例1.一個數去除551，745，1133這3個數，餘數都相同。問這個數最大可能是幾？

解：745-551=194，1133-745=388。(194，388)=194，所以這個數最大是194。

2.若a÷c=……r1；b÷c=……r2， r1+ r2=d.則cㄏ(a+b-d)。

例2.有一個整數，用它分別去除157，234和324，得到的三個餘數之和是100。求這個整數？

解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。100÷3=33……1，即最小的除數應大於34，小於157。所以滿足條件的有41、123兩個，經過驗算可知正確答案為41。

三、求餘數類

例1.已知整數n除以42餘12，求n除餘21的餘數？

解：由已知條件可知，n=42的倍數+12=21的2倍的倍數+12。所以，n除以21的'餘數為12。

例2.有一個整數，除1200，1314，1048所得的餘數都相同且大於5。問：這個相同的餘數是多少？

解：因為

1314-1200=114=3×38，

1200-1048=152=4×38。

某自然數應當是這兩個差的公約數，即38。又因為

1200÷38=31(餘22)

1314÷38=34(餘22)。

所以，這個相同的餘數是22。

例3.求19901990除以3所得的餘數？

解：由同餘的性質可知：對於同一個模，同餘的乘方仍同餘。

因為， 1990被3除餘1，即19901990≡11990≡1， 所以19901990除以3所得的餘數為1。

例4.有一個77位數，它的各位數字都是1，這個數除以7，餘數是多少？

解：根據被7整除的特徵知，111111能被7整除。

77 ÷6=12(餘5)，

11111÷7=1587(餘2)。

所以，這個數除以7的餘數是2。

例5.1，1，2，3，5，8，13，……，90個數排成一列，從第三個數起，每個數都等於它前面兩個數的和。那麼，這90個數的和除以5的餘數是多少？

解：這一列數被5除的餘數依次為1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，……。

餘數從頭起20個數一個週期迴圈出現，而且這20個數的和40又恰為5的倍數。

90÷20=4(餘10)

這列數中前10個數的餘數和為

1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18

18÷5=3(餘3)

所以，這90個數的和除以5的餘數為3。

練習題：

1. 一個三位數被37除餘17，被36除餘3，那麼這個三位數是多少？

2. 已知整數n除以3餘2，求n除以12的餘數？

3. 某數除以13餘5，除以17餘8，除以21餘4，求此數最小是多少？

4. 號碼分別為101，126，173，193的四個運動員進行乒乓球比賽，規定每兩人比賽的盤數是他們號碼的和被3除所得的餘數。那麼，打球盤數最多的運動員打了多少盤？

5. 求21000除以13的餘數是多少？

6. 當n是1到1992之間的一個自然數時，把它的各位數字相加，如果它的和不是一個一位數，那麼把它的各位數再相加，如此繼續下去，直到得到一個從1到9的一位數為止(例如：468→18→9)。問在1到1992這1992個自然數經過上述方法處理後所得的1992個一位數中，3多還是4多？多幾個？

7. 由2000個2組成的數除以13，所得的餘數是幾？