大學聯考解析幾何試題賞析

題目：已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8.

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；

（Ⅱ）已知點B（-1，0）， 設不垂直於x軸的直線l與軌跡C交於不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線， 證明直線l過定點.

答案：

（Ⅰ）軌跡C的方程為：y2=8x；

（Ⅱ）直線l過定點（1，0）.

一、 初步推廣

圖1證明：如圖1，易知t與p異號，不妨設p > 0. 由PQ不垂直於兩座標軸得直線TP與直線TQ都不是拋物線C的切線，即直線TP與拋物線有另一交點Q′，直線TQ與拋物線有另一交點P′.由於x軸是∠PTQ的角平分線，結合拋物線C的對稱性得：P′與P關於x軸對稱，Q′與Q關於x軸對稱.故PQ，P′Q′和x軸三線共點D.

代入①得，x0=-t.即直線l過定點D（-t，0）.

類似地，可以證明結論2和結論3.

結論2已知點T（t，0）， 設不垂直於x軸的直線l與橢圓C：x2[]m+y2[]n=1（m > 0，n > 0）交於不同的兩點P，Q，若x軸是∠PTQ的角平分線， 則直線l過定點m[]t，0.

結論3已知點（T，t，0）， 設不垂直於x軸的直線l與雙曲線C：x2[]m+y2[]n=1（mn < 0）交於不同的兩點P，Q，若x軸是∠PTQ的角平分線， 則直線l過定點m[]t，0.

二、 追根溯源

1. 廣闊的背景

笛卡爾（1596-1650）認為歐氏幾何“使人在想象力大大疲乏的情況下，去練習理解力”，代數則是“用來阻礙思想的藝術，不像一門改進思想的科學”，於是他“尋求另外一種包括這兩門科學的優點而沒有它們的缺點的方法”，並最終獲得了建立解析幾何的線索.平面解析幾何通過平面直角座標系，建立點與實數對之間的一一對應關係，以及曲線與方程之間的一一對應關係，從而實現了幾何方法與代數方法的結合，她的研究物件之一就是圓錐曲線的性質.

十五六世紀，由於作畫、作圖的需要而產生了透視法，笛沙格（1591―1661）首先對圖形及其影像的幾何性質進行研究，引入了無窮遠點和無窮遠直線、調和點列等概念，給出了著名的笛沙格定理，逐步創立了射影幾何.射影幾何的內容之一是從極點和極線的視角研究圓錐曲線的性質.

今天，幾何學已經有了十餘個分支，它們既相互區別又相互聯絡，不斷地發展和完善，交織成一幅絢麗多姿的畫卷.這時，我們無法用簡短的文字述說幾何學的燦爛歷史，卻能以一道大學聯考試題為窗，探視數與形共舞出的奇妙世界.

2.圓錐曲線的極點與極線

關於圓錐曲線的極點與極線，已經證得下列定理：

定理2如圖2，P為不在圓錐曲線C上的點，過點P引兩條割線依次交曲線C於四點E，F，G，H，連線EH，FG交於N（當EH與FG平行時，N為無窮遠點），連線EG，FH交於M，則MN為點P對應的極線.則PA、PB為曲線C的切線若P為圓錐曲線上的'點，過點P的切線即為極線.

由定理1，在圖中，PN為點M對應的極線，PM為點N對應的極線，故MNP為自極三點形.

定理3若過點P可作圓錐曲線C的兩條切線，A，B為切點， 則直線AB為點P對應的極線；

定理4（配極原則）如果P點的極線通過點Q，則Q點的極線也通過點P.

圖2圖3

3.結論再探

設直線x=-t交拋物線於A，B，由每個點對應的極線唯一和定理3得，直線TA、TB為拋物線的切線.

三、 試題之美

1.結構對稱

正是依題設所作圖形的“不完整”，使得我們產生“補美”的心理趨向，進而作出圖1，獲得解題突破口.在圖3中，拋物線關於x軸對稱，直線PQ與直線P′Q′、直線TA與直線TB分別關於x軸對稱，且點T與點D關於y軸對稱.而根據定理4得：點T與點D分別在對方的極線上.這些對稱關係通過極點和極線的性質相互聯絡，形成整體.德國數學家魏爾斯特拉斯指出“美和對稱性緊密相連”，數學中的對稱，不僅僅是視覺上的和諧，更是一種解題方法，常常使得我們追求整體的秩序井然，進而預見數學結論.

2.結論統一

四、解題斷想

視野. 欲窮千里目，更上一層樓. 用高等數學的思想來審視中學數學內容，有利於教師“高屋建瓴”，把握知識模組之間的深層聯絡；從高等數學的觀點探析試題的背景，有利於教師拓廣視角，增強問題探究能力；以高等數學的方法來指導教學實踐，有利於幫助學生跳出題海，提升學習效益.

意境. 數學美在哪裡？眾裡尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處.通過一道大學聯考試題，我們看到圖形結構的對稱，曲線性質的統一，還有數學方法的異曲同工. 做數學，就是欣賞美，就是在實證探究的基礎上，在悠遠的意境中感悟深邃的數學之美.