直線的兩點式方程教學困惑解惑與感悟教育論文

一、問題提出

在上到必修2第三章《直線與方程》時，我們學校同年級教文科的一位新教師問我“直線的兩點式方程要不要上”？對於她問這個問題的原因我可以理解，甚至有同感，教給學生幹嗎呢？理由一：既然已經學了點斜式方程，直接由直線上的兩點、求出直線的斜率，再由直線的點斜式不就把方程求出來了嘛。理由二：兩點式方程結構複雜，即使教給學生，學生也未必能記住，如果記錯了還不如不教，得不償失。理由三：兩點式方程限制條件多，垂直於座標軸的直線不能用兩點式來表示。正巧，我們學校和海鹽高階中學、平湖當湖中學期會考試時是三校聯考的，到平湖當湖中學去商討期會考試的範圍時，藉此機會我也拿這個問題請教了兩所學校的備課組長，一致認為直線的兩點式該弱化處理，學生容易算錯。種種理由顯示直線的兩點式方程似乎沒有“立足之地”了。在新課標下到底如何定位、把握直線的兩點式方程的教學呢？

二、課前分析

1.學情分析

在國中，學生學了一點平面幾何的知識，那時他們還僅限於圖形的處理。到了高中從《直線與方程》、《圓與方程》到選修1-1《圓錐曲線》這三章他們開始接觸解析幾何。解析幾何的本質就是用代數方法研究圖形的幾何性質，體現了數形結合的重要數學思想。在《直線與方程》這一章中，以平面直角座標系為平臺，給直線插上方程的“翅膀”，通過直線的方程研究直線之間的位置關係：平行、垂直，以及兩條直線的交點座標，點到直線的距離公式等等。

從幾何直觀到代數表示從代數表示到幾何直觀

（建立直線的方程）（通過方程研究幾何性質和度量）

直線的方程起了一個“橋樑”的作用。直線的方程重要性不言而喻了。

2.兩點式本身的優點分析

直線的兩點式體現了“兩點確定一條直線”這一樸素的數學理念；斜率不存在時的直線方程可用兩點式的變形寫出，向直線的一般式方程完成過渡；研究兩點式方程的目的不是說這種形式比較簡單或是好用，兩點式方程起著承上啟下的作用，它保持了知識的完整性和系統性，在思想與方法層面上，對學生分析問題解決問題的能力的培養應該有好處；兩點式方程的表示式工整，結構優美，如果設它等於一個引數，馬上可以得到直線的引數方程，為將來選修模組中的直線的引數方程做了鋪墊，這是其它方程所不能代替的。

如果按照點斜式的程度來上這節課的話，會不會真的“上了還不如不上”呢？帶著這個困惑我決定進行一次“詳細上這堂課”的教學嘗試。

三、上課實錄

因為上節課學過了直線方程的點斜式，所以我上課一開始給出了一道小練習：已知直線經過兩點,求直線的方程.讓學生獨立當場完成。做完之後我統計了一下，用點斜式方法來求的佔，還有的同學是用國中學過的待定係數設求一次函式的方法。前者用時較短，後者用時較長。看到這個結果，我基本心中有數，故意不做點評我開始了新課的教學。

師：前面我們已經探索了確定直線位置的幾何要素有哪些？

生眾：兩點確定一條直線。

師：對。還有嗎？

生：已知一個點和傾斜角。

師：很好。傾斜角和斜率都表示直線的傾斜程度，所以已知一個點和直線的斜率也可以確定一條直線。已知直線過點和它的斜率（或傾斜角）可以求出直線的方程為，我們把這個方程稱為直線的點斜式，那麼已知直線過了兩個點怎麼求直線的方程呢？比如開頭那個小練習，我們可以怎麼做呢？

讓兩個學生起立作答。對於這兩種做法我都給予了肯定。那麼已知直線上兩點求直線方程有沒有更快捷的方法呢？我們一起探討吧。

師：已知、，如何求直線的方程？

生1：先求出直線的斜率，再寫出直線的點斜式方程：。

師：能不能變形？上式的形式不便於記憶及應用，可以把上式進行變形，使它的形式比較對稱和美觀，能夠體現數學之美。你認為什麼形式更美觀些？

生2：。

師：這是等價變形嗎？兩邊除以時，必須。

生3：。

師：同理時才為等價變形。我們可以用方程

表示過兩點、的直線方程了。這個方程形式體現了“對稱美”，突出了兩點的座標，根據直線所過的兩點的座標可以立即寫出直線的方程，所以我們就把這個形式的方程就叫做直線的兩點式方程，簡稱兩點式。

師：注意到方程後面的兩個限制條件，兩點式方程不能表示哪些直線呢？

生：當時，直線傾斜角是90°，當時，直線的傾斜角是0°。這兩種直線不能用兩點式方程表示。

師：真聰明。那這兩種直線就沒有方程嗎？

生：有的。當，直線傾斜角是90°時，直線垂直於軸，直線上的每一點橫座標都是，所以可用表示。同理當，直線的傾斜角是0°時，直線可用方程表示。

師：非常好。直線的兩點式方程不能表示垂直於座標軸的直線，就如同直線的點斜式不能表示斜率不存在的直線一樣，有點殘缺美。但是有沒有辦法彌補這點小遺憾呢？把直線的兩點式方程怎麼變一變就能表示平面上的任意一條直線？ 生4：分式化成整式，去分母。沒有分母它就沒有限制條件了。

師：真的太棒了。對角相乘把方程化為就可以了。

書上之所以不化成這種形式，是為了講究和諧美和對稱美。以後大家在直接使用兩點式求直線方程時，可要看清楚兩個點的座標喲，能不能用兩點式表示才是關鍵。

（後面就是例題講解和練習的鞏固，在此省略。）

通過課堂上學生熱烈的討論探究以及例題講解、課後練習的鞏固，我發現教學前的困惑，基本消除了。上完了《直線的一般式》之後，我觀察學生的作業，再碰到已知兩點求直線的方程時，他們用的.多的還是直線方程的兩點式。不用擔心學生會算錯，要算錯的話不管什麼方法都會算錯。結構複雜也不是問題，一節課的探究下來，對結構也是理解的比較清楚了。通過這節課的備課、教學，我發現教科書給了我們一個新觀念、新方法，也為數學教學提供了新思路。

四、課後反思

1、研讀課標，準確定位教學目標

新課標準提出：“高中數學應該返璞歸真，努力揭示數學概念的發展過程和本質，使學生理解數學概念的逐步形成的過程，體會蘊含其中的思想方法；教學中要注意溝通各個部分內容之間的聯絡，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識之間的有機聯絡，感受數學的整體性，進一步理解數學的本質，提高解決問題的能力。”

課程標準是教學的依據，務必認真、反覆地研讀，深刻領會、把握課程標準的精神，領悟新課改的理念。教學必須以課程標準為“綱”，孰輕孰重，清清楚楚，才能切實地貫徹新課改的精神和課標的理念。

通過兩點式方程的教學，使學生認識到“兩點確定一條直線”這一樸素的數學文化理念；讓學生知道直線的方程有五種形式，增強了知識的系統性，擴大了學生的視野。教學中讓學生分析方程的不同，以便於學生形成批判性的思維習慣；通過分析兩點式方程的結構，讓學生體會到數學的對稱美。達成以上目標只需十幾分鍾，如果放棄這麼好的一個教學時機，對學生的終生髮展會留有遺憾。

2、研讀教材，準確把握教學目標

教科書是解讀課程標準的範本。它凝聚著編者對課標的準確理解的心血，蘊藏著豐富的數學教育內涵，體現著數學的科學性和編排的合理性、藝術性。作為一線教師只有研讀教科書，才能準確把握教學目標，悟出教科書的精髓，發揮教科書的教育作用。

在人教A版中，直線的斜截式和截距式是通過兩道例題的形式給出的，在課標中明確提到“根據確定直線位置的幾何要素，探索並掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式），體會斜截式與一次函式的關係。”教材的編寫者在編寫教材時的良苦用心可見一斑。我們只有不斷對教材中的每個細節深入研究，領悟教材編寫者的意圖，才是真正的“用教材”，才能提高個人的教學水平，才能真正把課堂教學落到實處。

3、研究學法，提高效率、貫徹理念

對於高中生來說，多進行一些學法指導，在教學時儘可能遵循方法和知識雙重走向，讓學生體驗教科書分段設計、分層推進的策略，學會自主探究、合作交流的學習方式，為後續學習提出一個模式，學生自然而然地適應高中數學的學習。

在這節直線的兩點式教學課中，老師著眼於“引”，啟發學生“探”，把“引”和“探”有機地結合起來，採用探究、討論的教學方式，通過問題激發學生求知慾，使學生主動參與直線的兩點式方程的探索、應用活動。

通過這一節“直線的兩點式”的教學前的課前困惑、上課解惑、課後反思。筆者深刻地感悟到：教學就是一種過程的經歷、一種過程的體驗、一種過程的感悟。