應用性試題的型別及解題思路

應用性試題的型別及解題思路

《課程標準》中指出：“讓親身經歷將實際問題抽象成模型並進行解釋的同時，在、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展。”為落實這一理念，近年來加強了對應用意識及解決實際問題的考查，其份量有越來越重的趨勢。應用問題有多種型別，下面著重展示如下六種應用性，並對其解題思路加以分析。

一、方程（組）應用題

這類問題是研究現實世界數量關係的最基本的問題，它可以幫助人們從數量關係的角度更準確、更清晰地認識、描述和把握現實世界。諸如行程、增長率、儲蓄、利息、稅率、工程施工及勞力分配等問題，都可以通過列方程（組）來解決。

例1. 某共有5個大餐廳和2個小餐廳，經過測試：同時開放1個大餐廳、2個小餐廳，可供1680名學生就餐：同時開放2個大餐廳、1個小餐廳，可供2280名學生就餐。

（1）求1個大餐廳、1個小餐廳分別可供多少名學生就餐；

（2）若7個餐廳同時開放，能否供全校的5300名學生就餐？請說明理由。

解：（1）設1個大餐廳可供x名學生就餐，1個小餐廳可供y名學生就餐，根據題意

得

解這個方程組，得

所以1個大餐廳可供960名學生就餐，1個小餐廳可供360名學生就餐。

（2）因為，所以如果同時開放7個餐廳，能夠供全校的5300名學生就餐。

二、不等式（組）應用題

生活中的不等關係是普遍存在的，許多現實問題很難確定具體的數值，但可以求出或確定某個量的變化範圍，從而對所研究的問題有一個比較清楚的認識。市場行銷、生產決策和社會生活中有關統籌安排、最佳決策、最優化等問題常用不等式（組）應用題來解決。

例2. 市“康智”牛奶乳業有限公司經過市場調研，決定從明年起對甲、乙兩種產品實行“限量生產”，要求這兩種產品全年共新增產量20件，這20件的總產值p（萬元）滿足；110

。已知有關資料如下表所示，那麼該公司明年應怎樣安排新增產品的產量？

解：設該公司安排生產新增甲產品x件，那麼生產新增乙產品件，由題意，得。

解這個不等式組，得

依題意，得

當時，

當時，

當時，

所以該公司明年可安排生產新增甲產品11件，乙產品9件；或生產新增甲產品12件，乙產品8件；或生產新增甲產品13件，乙產品7件。

三、函式應用題

函式反映了事物間的廣泛聯絡，提示了現實世界眾多的數量關係及變化規律，日常生活中的許多問題，諸如造價成本最低、生產利潤最大、風險決策、股市期貨、開源節流、扭虧增盈、方案最優化等問題的研究，都可以通過建立函式關係來解決。

例3. 甲、乙兩個工程隊分別同時開挖兩段河渠，所挖河渠的長度y(m)與挖掘時間x(h)之間的關係如圖所示，請根據影象所提供的資訊解答下列問題：

（1）乙隊開挖到30m時，用了____________________________h。開挖6h時甲隊比乙隊多挖了____________________________m；

（2）請你求出：

①甲隊在的時段內，y與x之間的函式關係式；

②乙隊在的'時段內，y與x之間的函式關係式；

（3）當x為何值時，甲、乙兩隊在施工過程中所挖河渠的長度相等？

解：（1）2，10；

（2）設甲隊在的時段內，y與x之間的函式關係式

由圖可知，函式影象過點（6，60）

解得

設乙隊在的時段內y與x之間的函式關係式為

由圖可知，函式影象過點（2，30）、（6，50）

解得

（3）由題意，得

解得x=4(h)

∴當x為4h時，甲、乙兩隊所挖的河渠長度相等。

四、幾何應用題

幾何應用題圖文並茂，貼近人類生活經驗和實驗需要，如零件加工、殘輪修復、工程選點定位、裁剪方案、美化設計、道路拱橋計算等實際問題中都涉及一定的圖形，在解決這些問題時，我們通常要抓住圖形的幾何性質，將實際問題轉化為幾何問題來進行解決。

例4. 本市新建的滴水湖是圓形人工湖。為測量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A、B、C三根木柱，使得A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，並測得BC長為240米，A到BC的距離為5米，如圖所示。請你幫他們求出滴水湖的半徑。

解：設圓心為點O，連結OB、OA，OA交線段BC於點D

因為AB=AC

所以OA⊥BC

且

由題意，DA=5

利用勾股定理易求出OB=1442.5

所以滴水湖的半徑為1442.5

五、統計應用題

統計的內容具有非常豐富的實際背景，在現實生活中有著廣泛的應用，要求學生學會如何收集資料和分析資料 國中數學，深刻理解用樣本估計整體的基本統計思想，掌握描述資料集中趨勢和離散程度的兩類基本統計量，並能夠靈活計算。

例5. 為了迎接全市會考，某對全校男生進行了立定跳遠專案測試，並從參加測試的500名男生中隨機抽取了部分男生的測試成績（單位：米，精確到0.01米）作為樣本進行分析，繪製瞭如圖所示的頻率分佈直方圖（每組含最低值，不含最高值），已知圖中從左到右每個小長方形的高的比依次為2：4：6：5：3，其中1.80~2.00這一小組的頻數為8，請根據有關資訊解答下列問題：

（1）填空：這次調查的樣本容量為______________________，2.40~2.60這一小組的頻率為_____________________。

（2）請指出樣本成績的中位數落在哪一小組內，並說明理由。

（3）樣本中男生立定跳遠的人均成績不低於多少米？

（4）請估計該校九年級男生立定跳遠成績在2.00米以上（包括2.00米）的約有多少人？

解：（1）40，0.15

（2）∵各小組的頻數分別為：

，，，，

而中位數是40個成績從小到大排列後第20個數據和第21個數據的平均數。

∴中位數落在2.00~2.20這一小組內

（3）設樣本人均成績最低值為x，則

∴樣本中男生立定跳遠的人均成績不低於2.03米。

（4）（人）

所以該校九年級男生立定跳遠成績在2.00米以上的約有350人。

六、三角形應用題

解直角三角形應用問題，題目新穎靈活，有利於培養學生採取多種求解的能力，解題的關鍵是抓住銳角三角函式以及直角三角形邊與角之間關係。

例6. 如圖所示，某人在山坡坡腳A處測得電視塔尖點C的仰角為60°，沿山坡向上走到P處再測得點C的仰角為45°，已知OA=100米，山坡坡度i=1：2且O，A，B在同一條直線上，求電視塔OC的高度以及此人所在位置點P的鉛直高度。（測傾器高度忽略不計，結果保留根號形式）

解：作PE⊥OB於點E

PF⊥CO於點F，在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°

（米）

設PE=x米

解得（米）

所以電視塔OC高為米，人所在位置點P的鉛直高度為（米）。