小升中入學奧數的模擬試題以及答案

來源：才華庫 2.82W

1.從甲地到乙地，如果車速每小時提高20千米，那麼時間由4小時變為3小時。甲乙兩地相距千米。

240

3個小時多行20×3＝60（千米），這60千米原來需行1小時，所以兩地相距60×4＝240（千米）。

根據比例關係，原來與現在所用時間比為4︰3,則原來與現在的速度比為3︰4,所以按比例分配得，現在的速度為20÷（4-3）×4＝80（千米），所以路程為80×3＝240（千米）。

13. 某國小即將開運動會，一共有十項比賽，每位同學可以任報兩項，那麼要有 ___ 人報名參加運動會，才能保證有兩名或兩名以上的同學報名參加的比賽專案相同.

十項比賽，每位同學可以任報兩項，那麼有＝45種不同的報名方法．

那麼，由抽屜原理知為 45+1＝46人報名時滿足題意．

14.

20. 如圖，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是對角線，圖中的陰影部分以CD為軸旋轉一週，則陰影部分掃過的立體的體積是多少立方厘米？（π=3.14）

565.2立方厘米

設三角形BOC以CD為軸旋轉一週所得到的立體的體積是S，S等於高為10釐米，底面半徑是6釐米的圓錐的體積減去2個高為5釐米，底面半徑是3釐米的圓錐的體積減去2個高為5釐米，底面半徑是3釐米的圓錐的體積。即：

S= ×62×10×π-2× ×32×5×π=90π，

2S=180π=565.2（立方厘米）

S也可以看做一個高為5釐米，上、下底面半徑是3、6釐米的圓臺的體積減去一個高為5釐米，底面半徑是3釐米的圓錐的體積。

4．如圖，點B是線段AD的中點，由A，B，C，D四個點所構成的所有線段的長度均為整數，若這些線段的長度的積為10500，則線段AB的長度是。

由A，B，C，D四個點所構成的線段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由於點B是線段AD的中點，可以設線段AB和BD的長是x，AD=2x，因此在乘積中一定有x3。

對10500做質因數分解：

10500=22×3×53×7，

所以，x=5,AB×BD×AD=53×2,AC×BC×CD=2×3×7,

所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.

5．設有十個人各拿著一隻提桶同時到水龍頭前打水，設水龍頭注滿第一個人的桶需要1分鐘，注滿第二個人的桶需要2分鐘，…….如此下去，當只有兩個水龍頭時，巧妙安排這十個人打水，使他們總的費時時間最少.這時間等於_________分鐘.

125分鐘

不難得知應先安排所需時間較短的人打水．

不妨假設為：

第一個水龍頭

第二個水龍頭

第一個

第二個

第三個

第四個

第五個

顯然計算總時間時，A、F計算了5次，B、G計算了4次，C、H計算了3次，D、I計算了2次，E、J計算了1次．

那麼A、F為1、2，B、G為3、4，C、H為5、6，D、I為7、8，E、J為9、10．

所以有最短時間為(1+2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝125分鐘．

評註：下面給出一排隊方式：

第一個水龍頭

第二個水龍頭

第一個

第二個

第三個

第四個

第五個

想象一下，如果你去理髮店理髮，只需要一分鐘，可能這時已有一位阿姨排在你的前面，她需要1小時。這時，你請她讓你先理，她可能很輕鬆地答應你了。

可是，如果反過來，你排隊在前，這位阿姨請你讓她先理，你很難同意她的要求，而且大家都認為她的要求不合理，這是為什麼呢？

可以看到，一個水龍頭時的等待總時間演算法是：

S＝A+A+B+A+B+C+A+B+C+D+A+B+C+D+E=5A+4B+3C+2D+E

所以，要想使總時間S最小，則要A<B<C<D<E.

兩個水龍頭可參見排隊方法，但排隊方法不唯一。有一個原則:

（A+F）<(B+G)<(C+H)<(D+I)<(E+J)

6.用140個稜長為1的小正方體粘成一個大的長方體，若拆下沿稜的小正方體，則餘下92個小正方體(見右圖). 留下的多面體的表面積是________.

142.

大長方體的長、寬、高都大於2，否則所有的小正方體都在稜上，與題意不符. 140分解成3個大於2的自然數的乘積只有457，所以大長方體的長、寬、高分別是4，5，7，表面積是

(45+47+57)2=166.

拆下沿稜的小正方體後，對比原來的表面積，相當於每個面減少4或每個角減少3，表面積為

166-46=142 或 166-38=142.

整體思考的經典範例，一是從整體考慮前後表面積的變化關係，看變化可以簡化運算。

二是，如何看變化，本題可以用“陽光照面”法。

7. 在三位數中，個位、十位、百位都是一個數的平方的共有個。

百位有1、4、9三種選擇，十位、個位有0、1、4、9四種選擇。滿足題意的三位數共有

3×4×4＝48（個）。

8. 老師在黑板上寫了一個自然數。第一個同學說：“這個數是2的倍數。”第二個同學說：“這個數是3的倍數。”第三個同學說：“這個數是4的倍數。”……第十四個同學說：“這個數是15的倍數。”最後，老師說：“在所有14個陳述中，只有兩個連續的陳述是錯誤的。”老師寫出的最小的自然數是。

60060

2，3，4，5，6，7的2倍是4，6，8，10，12，14，如果這個數不是2，3，4，5，6，7的倍數，那麼這個數也不是4，6，8，10，12，14的倍數，錯誤的陳述不是連續的，與題意不符。所以這個數是2，3，4，5，6，7的倍數。由此推知，這個數也是（2×5=）10，（3×4=）12，（2×7）14，（3×5=）15的倍數。在剩下的8,9,11,13中，只有8和9是連續的，所以這個數不是8和9的倍數。2，3，4，5，6，7，10，11，12，，13，14，15的最小公倍數是22×3×5×7×11×13=60060。

12.小王和小李平時酷愛打牌，而且推理能力都很強。一天，他們和華教授圍著桌子打牌，華教授給他們出了道推理題。華教授從桌子上抽取了如下18張撲克牌：

紅桃A，Q，4 黑桃J，8，4，2，7，3，5

草花K，Q，9，4，6，lO 方塊A，9

華教授從這18張牌中挑出一張牌來，並把這張牌的點數告訴小王，把這張牌的花色告訴小李。然後，華教授問小王和小李，“你們能從已知的點數或花色中推斷出這張牌是什麼牌嗎?

小王：“我不知道這張牌。”

小李：“我知道你不知道這張牌。”

小王：“現在我知道這張牌了。”

小李：“我也知道了。”

請問：這張牌是什麼牌?

方塊9。

小王知道這張牌的點數，小王說：“我不知道這張牌”，說明這張牌的點數只能是A，Q，4，9中的一個，因為其它的點數都只有一張牌。

如果這張牌的點數不是A，Q，4，9，那麼小王就知道這張牌了，因為A，Q，4，9以外的點數全部在黑桃與草花中，如果這張牌是黑桃或草花，小王就有可能知道這張牌，所以小李說：“我知道你不知道這張牌”，說明這張牌的花色是紅桃或方塊。

現在的問題集中在紅桃和方塊的5張牌上。

因為小王知道這張牌的點數，小王說：“現在我知道這張牌了”，說明這張牌的點數不是A，否則小王還是判斷不出是紅桃A還是方塊A。

因為小李知道這張牌的花色，小李說：“我也知道了”，說明這張牌是方塊9。否則，花色是紅桃的話，小李判斷不出是紅桃Q還是紅桃4。

在邏輯推理中，要注意一個命題真時指向一個結論，而其逆命題也是明確的結論。

10.

將分子、分母分解因數：9633＝3×3211，35321=11×3211

用輾轉相除法更妙了。

12.已知三位數的各位數字之積等於10，則這樣的三位數的個數是 _____ 個.

因為10＝2×5，所以這些三位數只能由1、2、5組成，於是共有＝6個．

12. 下圖中有五個三角形，每個小三角形中的三個數的和都等於50，其中A7＝25，A1＋A2＋A3＋A4＝74，A9＋A3＋A5＋A10＝76，那麼A2與A5的和是多少？

有A1+A2+A8＝50，

A9+A2+A3＝50，

A4+A3+A5＝50，

A10+A5+A6＝50，

A7+A8+A6＝50，

於是有A1+A2+A8+A9+A2+A3+A4+A3+A5+A10+A5+A6+A7+A8+A6＝250，

即(A1+A2+A3+A4)+(A9+A3+A5+A10)+A2+A5+2A6+2A8+ A7＝250.

有74+76+A2+A5+2(A6+A8) + A7＝250，而三角形A6A7A8中有A6+A7+A8＝50，其中A7＝25，所以A6+A8＝50－25＝25.

那麼有A2+A5＝250－74－76－50－25＝25.

上面的推導完全正確，但我們缺乏方向感和總體把握性。

其實，我們看到這樣的數陣，第一感覺是看到這裡5個50並不表示10個數之和，而是這10個數再加上內圈5個數的和。這一點是最明顯的感覺，也是重要的等量關係。

再“看問題定方向”，要求第2個數和第5個數的和，

說明跟內圈另外三個數有關係，而其中第6個數和第8個數的和是50-25＝25,

再看第3個數，在加兩條直線第1、2、3、4個數和第9、3、5、10個數時，重複算到第3個數，

好戲開演：

74+76+50＋25+第2個數＋第5個數＝50×5

所以第2個數＋第5個數＝25

一、填空題：

1 滿足下式的填法共有種?

口口口口-口口口=口口

4905。

由右式知，本題相當於求兩個兩位數a與b之和不小於100的算式有多少種。

a=10時，b在90 99之間，有10種；

a=11時，b在89 99之間，有11種；

……

a=99時，b在1 99之間，有99種。共有

10+11+12+……99=4905(種)。

算式謎跟計數問題結合，本題是一例。數學模型的類比聯想是解題關鍵。

4 在足球表面有五邊形和六邊形圖案(見右上圖)，每個五邊形與5個六邊形相連，每個六邊形與3個五邊形相連。那麼五邊形和六邊形的最簡整數比是_______ 。

3︰5。

設有X個五邊形。每個五邊形與5個六邊形相連，這樣應該有5X個六邊形，可是每個六邊形與3個五邊形相連，即每個六邊形被數了3遍，所以六邊形有個。

6 用方格紙剪成面積是4的圖形，其形狀只能有以下七種：

如果用其中的四種拼成一個面積是16的正方形，那麼，這四種圖形的編號和的最大值是______．

19.

為了得到編號和的最大值，應先利用編號大的圖形，於是，可以拼出，由：(7)，(6)，(5)，(1)；(7)，(6)，(4)，(1)；(7)，(6)，(3)，(1)組成的面積是16的正方形：

顯然，編號和最大的是圖1，編號和為7＋6＋5＋1＝19，再驗證一下，並無其它拼法．

注意從結果入手的思考方法。我們畫出面積16的正方形，先塗上陰影（６）（７），再塗出（５），經過適當變換，可知，只能利用（１）了。

而其它情況，用上（６）（７），和（４），則只要考慮（３）（５）這兩種情況是否可以。

10 設上題答數是a，a的個位數字是b．七個圓內填入七個連續自然數，使每兩個相鄰圓內的數之和等於連線上的已知數，那麼寫A的圓內應填入_______．

A＝６

如圖所示：

B＝A－4,

C＝B＋３，所以C＝A－１;

D=C＋3，所以D＝A＋２;

而A ＋D ＝14;

所以A＝（14－2）÷2＝6.

本題要點在於推導隔一個圓的兩個圓的差，

從而得到最後的和差關係來解題。

13 某個自然數被187除餘52，被188除也餘52，那麼這個自然數被22除的餘數是_______．

這個自然數減去52後，就能被187和188整除，為了說明方便，這個自然數減去52後所得的數用M表示，因187＝17×11，故M能被11整除；因M能被188整除，故，M也能被2整除，所以，M也能被11×2＝22整除，原來的自然數是M＋52，因為M能被22整除，當考慮M＋52被22除後的餘數時，只需要考慮52被22除後的餘數．52＝22×2＋8這個自然數被22除餘8．

26 有一堆球，如果是10的倍數個，就平均分成10堆，並且拿走9堆；如果不是10的倍數個，就新增幾個球(不超過9個)，使這堆球成為10的倍數個，然後將這些球平均分成10堆，並且拿走9堆。這個過程稱為一次操作。如果最初這堆球的個數為

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2…9 8 9 9．

連續進行操作，直至剩下1個球為止，那麼共進行了次操作;共添加了個球.

189次； 802個。

這個數共有189位，每操作一次減少一位。操作188次後，剩下2，再操作一次，剩下1。共操作189次。這個189位數的各個數位上的數字之和是

(1+2+3+…+9)20=900。

由操作的過程知道，新增的球數相當於將原來球數的每位數字都補成9，再添1個球。所以共添球

1899-900+1=802(個)。

30 有一種最簡真分數，它們的分子與分母的乘積都是693，如果把所有這樣的分數從大到小排列，那麼第二個分數是______．

把693分解質因數：693＝3×3×7×11．為了保證分子、分母不能約分(否則，約分後分子與分母之積就不是693)，相同質因數要麼都在分子，要麼都在分母，並且分子應小於分母．分子從大到小排列是11，9，7，1，

8. 從1到100的自然數中，每次取出2個數，要使它們的和大於100，則共有 _____ 種取法.

2500

設選有a、b兩個數，且a＜b，

當a為1時，b只能為100，1種取法；

當a為2時，b可以為99、100，2種取法；

當a為3時，b可以為98、99、100，3種取法；

當a為4時，b可以為97、98、99、100，4種取法；

當a為5時，b可以為96、97、98、99、100，5種取法；

…… …… ……

當a為50時，b可以為51、52、53、…、99、100，50種取法；

當a為51時，b可以為52、53、…、99、100，49種取法；

當a為52時，b可以為53、…、99、100，48種取法；

…… …… ……

當a為99時，b可以為100，1種取法．

所以共有1+2+3+4+5+…+49+50+49+48+…+2+1＝502＝2500種取法．

從1-100中，取兩個不同的數，使其和是9的倍數，有多少種不同的取法？

從除以9的餘數考慮，可知兩個不同的數除以9的餘數之和為9。通過計算，易知除以9餘1的有12種，餘數為2-8的為11種，餘數為0的有11種，但其中有11個不滿足題意：如9+9、18+18……，要減掉11。而餘數為1的是12種，多了11種。這樣，可以看成，1-100種，每個數都對應11種情況。

11×100÷2=550種。除以2是因為1+8和8+1是相同的情況。

二、解答題：

1．小紅到商店買一盒花球，一盒白球，兩盒球的數量相等，花球原價是2元錢3個，白球原價是2元錢5個．新年優惠，兩種球的售價都是4元錢8個，結果小紅少花了5元錢，那麼，她一共買了多少個球？

150個

用矩形圖來分析，如圖。

容易得，

解得:

所以 2x=150

2．22名家長（爸爸或媽媽，他們都不是老師）和老師陪同一些國小生參加某次數學競賽，已知家長比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2人，至少有一名男老師，那麼在這22人中，共有爸爸多少人？

5人

家長和老師共22人，家長比老師多，家長就不少於12人，老師不多於10人，媽媽和爸爸不少於12人，媽媽比爸爸多，媽媽不少於7人．女老師比媽媽多2人，女老師不少於7＋2＝9(人)．女老師不少於9人，老師不多於10人，就得出男老師至多1人，但題中指出，至少有1名男老師，因此，男老師是1人，女老師就不多於9人，前面已有結論，女老師不少於9人，因此，女老師有9人，而媽媽有7人，那麼爸爸人數是：22-9-1-7＝5(人) 在這22人中，爸爸有5人．

妙，本題多次運用最值問題思考方法，且巧借半差關係，得出不等式的範圍。

正反結合討論的方法也有體現。

3．甲、乙、丙三人現在歲數的和是113歲，當甲的歲數是乙的歲數的一半時，丙是38歲，當乙的歲數是丙的歲數的一半時，甲是17歲，那麼乙現在是多大歲數？

32歲

如圖。

設過x年，甲17歲，得：

解得 x=10,

某個時候，甲17-10=7歲，乙7×2=14歲，丙38歲，年齡和為59歲，

所以到現在每人還要加上（113-59）÷3=18（歲）

所以乙現在14+18=32（歲）。

7. 甲、乙兩班的學生人數相等，各有一些學生參加數學選修課，甲班參加數學選修課的人數恰好是乙班沒有參加的人數的1/3，乙班參加數學選修課的人數恰好是甲班沒有參加的人數的1/4。那麼甲班沒有參加的人數是乙班沒有參加的人數的幾分之幾?

：設甲班沒參加的是4x人，乙班沒參加的是3y人

那麼甲班參加的人數是y人，乙班參加的人數是x人

根據條件兩班人數相等，所以4x+y=3y+x

3x=2y x:y=2:3

因此4x:3y=8:9 故那麼甲班沒有參加的人數是乙班沒有參加的人數的

列一元一次方程：可假設兩班人數都為“1”，設甲班參加的為x，則甲班未參加的為（1-x）；則乙班未參加的為3x，則乙班參加的為（1-3x）,可列方程：（1-x）/4=1-3x 求x=3/11。

方程演算、設而不求、量化思想都有了，這道題不錯。

目標班

名校真卷七

一、填空題：

31 滿足下式的填法共有種?

口口口口-口口口=口口

4905。

由右式知，本題相當於求兩個兩位數a與b之和不小於100的算式有多少種。

a=10時，b在90 99之間，有10種；

a=11時，b在89 99之間，有11種；

……

a=99時，b在1 99之間，有99種。共有

10+11+12+……99=4905(種)。

算式謎跟計數問題結合，本題是一例。數學模型的類比聯想是解題關鍵。

34 在足球表面有五邊形和六邊形圖案(見右上圖)，每個五邊形與5個六邊形相連，每個六邊形與3個五邊形相連。那麼五邊形和六邊形的最簡整數比是_______ 。

3︰5。

設有X個五邊形。每個五邊形與5個六邊形相連，這樣應該有5X個六邊形，可是每個六邊形與3個五邊形相連，即每個六邊形被數了3遍，所以六邊形有個。

36 用方格紙剪成面積是4的圖形，其形狀只能有以下七種：

如果用其中的四種拼成一個面積是16的正方形，那麼，這四種圖形的編號和的最大值是______．

19.

顯然，編號和最大的是圖1，編號和為7＋6＋5＋1＝19，再驗證一下，並無其它拼法．

注意從結果入手的思考方法。我們畫出面積16的正方形，先塗上陰影（６）（７），再塗出（５），經過適當變換，可知，只能利用（１）了。

而其它情況，用上（６）（７），和（４），則只要考慮（３）（５）這兩種情況是否可以。

40 設上題答數是a，a的個位數字是b．七個圓內填入七個連續自然數，使每兩個相鄰圓內的數之和等於連線上的已知數，那麼寫A的圓內應填入_______．

A＝６

如圖所示：

B＝A－4,

C＝B＋３，所以C＝A－１;

D=C＋3，所以D＝A＋２;

而A ＋D ＝14;

所以A＝（14－2）÷2＝6.

本題要點在於推導隔一個圓的兩個圓的差，

從而得到最後的和差關係來解題。

43 某個自然數被187除餘52，被188除也餘52，那麼這個自然數被22除的餘數是_______．

56 有一堆球，如果是10的倍數個，就平均分成10堆，並且拿走9堆；如果不是10的倍數個，就新增幾個球(不超過9個)，使這堆球成為10的倍數個，然後將這些球平均分成10堆，並且拿走9堆。這個過程稱為一次操作。如果最初這堆球的個數為

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2…9 8 9 9．

連續進行操作，直至剩下1個球為止，那麼共進行了次操作;共添加了個球.

189次； 802個。

這個數共有189位，每操作一次減少一位。操作188次後，剩下2，再操作一次，剩下1。共操作189次。這個189位數的各個數位上的數字之和是

(1+2+3+…+9)20=900。

由操作的過程知道，新增的球數相當於將原來球數的每位數字都補成9，再添1個球。所以共添球

1899-900+1=802(個)。

60 有一種最簡真分數，它們的分子與分母的乘積都是693，如果把所有這樣的分數從大到小排列，那麼第二個分數是______．

68 在1，2，…，1997這1997個數中，選出一些數，使得這些數中的每兩個數的和都能被22整除，那麼，這樣的數最多能選出______個．

有兩種選法：(1)選出所有22的整數倍的數，即：22，22×2，22×3，…，22×90＝1980，共90個數；(2)選出所有11的奇數倍的數，即：11，11＋22×1，11＋22×2…，11＋22×90＝1991，共91個數，所以，這樣的數最多能選出91個．

二、解答題：

150個

用矩形圖來分析，如圖。

容易得，

解得:

所以 2x=150

5人

妙，本題多次運用最值問題思考方法，且巧借半差關係，得出不等式的範圍。

正反結合討論的方法也有體現。

32歲

如圖。

設過x年，甲17歲，得：

解得 x=10,

某個時候，甲17-10=7歲，乙7×2=14歲，丙38歲，年齡和為59歲，

所以到現在每人還要加上（113-59）÷3=18（歲）

所以乙現在14+18=32（歲）。

11.甲、乙兩班的學生人數相等，各有一些學生參加數學選修課，甲班參加數學選修課的人數恰好是乙班沒有參加的人數的1/3，乙班參加數學選修課的人數恰好是甲班沒有參加的人數的1/4。那麼甲班沒有參加的人數是乙班沒有參加的人數的幾分之幾?

：設甲班沒參加的是4x人，乙班沒參加的是3y人

那麼甲班參加的人數是y人，乙班參加的人數是x人

根據條件兩班人數相等，所以4x+y=3y+x

3x=2y x:y=2:3

因此4x:3y=8:9 故那麼甲班沒有參加的人數是乙班沒有參加的人數的

方程演算、設而不求、量化思想都有了，這道題不錯。

2007年重點中學入學試卷分析系列七

24. 著名的數學家斯蒂芬巴納赫於1945年8月31日去世，他在世時的某年的年齡恰好是該年份的算術平方根(該年的年份是他該年年齡的平方數).則他出生的年份是 _____ ，他去世時的年齡是 ______ .

1892年;53歲。

首先找出在小於1945，大於1845的完全平方數，有1936＝442，1849＝432，顯然只有1936符合實際，所以斯蒂芬巴納赫在1936年為44歲．

那麼他出生的年份為1936－44＝1892年．

他去世的年齡為1945－1892＝53歲．

要點是：確定範圍，另外要注意的“潛臺詞”：年份與相應年齡對應，則有年份－年齡＝出生年份。

36. 某國小即將開運動會，一共有十項比賽，每位同學可以任報兩項，那麼要有 ___ 人報名參加運動會，才能保證有兩名或兩名以上的同學報名參加的比賽專案相同.

十項比賽，每位同學可以任報兩項，那麼有＝45種不同的報名方法．

那麼，由抽屜原理知為 45+1＝46人報名時滿足題意．

37.

43. 如圖，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，AC和BD是對角線，圖中的陰影部分以CD為軸旋轉一週，則陰影部分掃過的立體的體積是多少立方厘米？（π=3.14）

565.2立方厘米

S= ×62×10×π-2× ×32×5×π=90π，

2S=180π=565.2（立方厘米）

S也可以看做一個高為5釐米，上、下底面半徑是3、6釐米的圓臺的體積減去一個高為5釐米，底面半徑是3釐米的圓錐的體積。

4．如圖，點B是線段AD的中點，由A，B，C，D四個點所構成的所有線段的長度均為整數，若這些線段的長度的積為10500，則線段AB的長度是。

由A，B，C，D四個點所構成的線段有：AB，AC，AD，BC，BD和CD，由於點B是線段AD的中點，可以設線段AB和BD的長是x，AD=2x，因此在乘積中一定有x3。

對10500做質因數分解：

10500=22×3×53×7，

所以，x=5,AB×BD×AD=53×2,AC×BC×CD=2×3×7,

所以，AC=7，BC=2,CD=3,AD=10.

5．甲乙兩地相距60公里，自行車和摩托車同時從甲地駛向乙地.摩托車比自行車早到4小時，已知摩托車的速度是自行車的3倍，則摩托車的速度是 ______ .

30公里/小時

記摩托車到達乙地所需時間為“1”，則自行車所需時間為“3”，有4小時對應“3”－“1”＝“2”，所以摩托車到乙地所需時間為4÷2＝2小時．摩托車的速度為60÷2＝30公里/小時．

這是最本質的行程中比例關係的應用，注意份數對應思想。

6. 一輛汽車把貨物從城市運往山區，往返共用了20小時，去時所用時間是回來的1.5倍，去時每小時比回來時慢12公里.這輛汽車往返共行駛了 _____ 公里.

576

記去時時間為“1.5”，那麼回來的時間為“1”．

所以回來時間為20÷(1.5+1)＝8小時，則去時時間為1.5×8＝12小時．

根據反比關係，往返時間比為1.5︰1＝3︰2,則往返速度為2：3,

按比例分配，知道去的速度為12÷（3-2）×2＝24（千米）

所以往返路程為24×12×2＝576（千米）。

7. 有70個數排成一排，除兩頭兩個數外，每個數的3倍恰好等於它兩邊兩個數之和.已知前兩個數是0和1，則最後一個數除以6的餘數是 ______ .

顯然我們只關係除以6的餘數，有0，1，3，2，3，1，0，5，3，，3，5，0，1，3，……

有從第1數開始，每12個數對於6的餘數一迴圈，

因為70÷12＝5……10，

所以第70個數除以6的餘數為迴圈中的第10個數，即4．

找規律，原始資料的生成也是關鍵，細節決定成敗。

8. 老師在黑板上寫了一個自然數。第一個同學說：“這個數是2的倍數。”第二個同學說：“這個數是3的倍數。”第三個同學說：“這個數是4的倍數。”……第十四個同學說：“這個數是15的倍數。”最後，老師說：“在所有14個陳述中，只有兩個連續的陳述是錯誤的。”老師寫出的`最小的自然數是。

60060

16.小王和小李平時酷愛打牌，而且推理能力都很強。一天，他們和華教授圍著桌子打牌，華教授給他們出了道推理題。華教授從桌子上抽取了如下18張撲克牌：

紅桃A，Q，4 黑桃J，8，4，2，7，3，5

草花K，Q，9，4，6，lO 方塊A，9

小王：“我不知道這張牌。”

小李：“我知道你不知道這張牌。”

小王：“現在我知道這張牌了。”

小李：“我也知道了。”

請問：這張牌是什麼牌?

方塊9。

小王知道這張牌的點數，小王說：“我不知道這張牌”，說明這張牌的點數只能是A，Q，4，9中的一個，因為其它的點數都只有一張牌。

現在的問題集中在紅桃和方塊的5張牌上。

因為小王知道這張牌的點數，小王說：“現在我知道這張牌了”，說明這張牌的點數不是A，否則小王還是判斷不出是紅桃A還是方塊A。

因為小李知道這張牌的花色，小李說：“我也知道了”，說明這張牌是方塊9。否則，花色是紅桃的話，小李判斷不出是紅桃Q還是紅桃4。

在邏輯推理中，要注意一個命題真時指向一個結論，而其逆命題也是明確的結論。

10.從1到100的自然數中，每次取出2個數，要使它們的和大於100，則共有 _____ 種取法.

2500

設選有a、b兩個數，且a＜b，

當a為1時，b只能為100，1種取法；

當a為2時，b可以為99、100，2種取法；

當a為3時，b可以為98、99、100，3種取法；

當a為4時，b可以為97、98、99、100，4種取法；

當a為5時，b可以為96、97、98、99、100，5種取法；

…… …… ……

當a為50時，b可以為51、52、53、…、99、100，50種取法；

當a為51時，b可以為52、53、…、99、100，49種取法；

當a為52時，b可以為53、…、99、100，48種取法；

…… …… ……

當a為99時，b可以為100，1種取法．

所以共有1+2+3+4+5+…+49+50+49+48+…+2+1＝502＝2500種取法．

從1-100中，取兩個不同的數，使其和是9的倍數，有多少種不同的取法？

11×100÷2=550種。除以2是因為1+8和8+1是相同的情況。

14.已知三位數的各位數字之積等於10，則這樣的三位數的個數是 _____ 個.

因為10＝2×5，所以這些三位數只能由1、2、5組成，於是共有＝6個．

12. 下圖中有五個三角形，每個小三角形中的三個數的和都等於50，其中A7＝25，A1＋A2＋A3＋A4＝74，A9＋A3＋A5＋A10＝76，那麼A2與A5的和是多少？

有A1+A2+A8＝50，

A9+A2+A3＝50，

A4+A3+A5＝50，

A10+A5+A6＝50，

A7+A8+A6＝50，

於是有A1+A2+A8+A9+A2+A3+A4+A3+A5+A10+A5+A6+A7+A8+A6＝250，

即(A1+A2+A3+A4)+(A9+A3+A5+A10)+A2+A5+2A6+2A8+ A7＝250.

有74+76+A2+A5+2(A6+A8) + A7＝250，而三角形A6A7A8中有A6+A7+A8＝50，其中A7＝25，所以A6+A8＝50－25＝25.

那麼有A2+A5＝250－74－76－50－25＝25.

上面的推導完全正確，但我們缺乏方向感和總體把握性。

再“看問題定方向”，要求第2個數和第5個數的和，

說明跟內圈另外三個數有關係，而其中第6個數和第8個數的和是50-25＝25,

再看第3個數，在加兩條直線第1、2、3、4個數和第9、3、5、10個數時，重複算到第3個數，

好戲開演：

74+76+50＋25+第2個數＋第5個數＝50×5

所以第2個數＋第5個數＝25

13.下面有三組數

(1) ，1.5， (2)0.7，1.55 (3) ，，1.6，

從每組數中取出一個數，把取出的三個數相乘，那麼所有不同取法的三個數乘積的和是多少？

720

在一個6×5的方格中，最上面一行依次填寫0、1、3、5、7、9；在最左一列依次填寫0、2、4、6、8，其餘每個格子中的數字等於與他同一行中最左邊的數字與同一列中最上面的數字之和。問：依次填滿數字以後，這30個數字之和是多少？

思路同原題。（2+4+6+8）×6+（1+3+5+7+9）×5=245

因為原題較複雜，也可先講此題，然後再講原題。

＝16×2.25×20＝720．

推導這部分內容，可別忘了幫學生複習一下求一個數所有約數和的公式。融會貫通的機會來了。

家庭作業

將分子、分母分解因數：9633＝3×3211，35321=11×3211

用輾轉相除法更妙了。

14. 甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發，相向而行，出發時他們的速度比是3：2，他們第一次相遇後，甲的速度提高了20％，乙的速度提高了30％，這樣，當甲到達B地時，乙離A還有14千米，那麼，A、B兩地間的距離是多少千米？

45千米

設A、B兩地間的距離是5段，根據兩人速度比是3∶2，當他們第一次相遇時，甲走3段，乙走了2段，此後，甲還要走2段，乙還要走3段．當甲、乙分別提高速度後，再者之比是：

題目很老套了。但考慮方法的靈活性，可以作不同方法的練習。

本題還可以用通比（或者稱作連比）來解。

14÷(27-13)×(27+18)=45(千米)

20. 新年聯歡會上，六年級一班的21名同學參加猜謎活動，他們一共猜對了44條謎語.那麼21名同學中，至少有_______人猜對的謎語一樣多.

我們應該使得猜對的謎語的條數儘可能的均勻分佈，有：

0+0+0+0+1+1+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4＝(0+1+2+3+4)×4＝40，現在還有1個人還有4條謎語，0+0+0+0+1+1+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4+4＝44．

所以此時有5個人猜對的謎語一樣多，均為4條．

不難驗證至少有5人猜對的謎語一樣多．

此題難點在入手點，即思考方法，可由學生髮言，由其發言引出問題，讓學生們把他們的意見充分表達出來，再在老師的啟發下，糾正問題，解決問題。這樣講法要比老師直接切入解題要好。

注意如果沒有人數限制，則這裡的“至少”應該是1個人。結合21人，應該找到方向了。

26. 某一個工程甲單獨做50天可以完成，乙單獨做75天可以完成，現在兩人合作，但途中乙因事離開了幾天，從開工後40天把這個工程做完，則乙中途離開了 ____ 天.

乙中途離開，但是甲從始至終工作了40天，完成的工程量為整個工程的40× ＝．

那麼剩下的1－＝由乙完成，乙需 ÷ ＝15天完成，所以乙離開了40－15＝25天．

30. 從時鐘指向4點整開始，再經過________分鐘，時針、分針正好第一次重合.

方法一：4點整時，時針、分針相差20小格，所以分針需追上時針20小格，記分針的速度為“1”，則時針的速度為“ ”，那麼有分針需20÷ ＝．

方法二：我們知道：標準的時鐘，時針、分針的夾角每分鐘重複一次，顯然0:00時時針、分針重合．

有1: ，2: ，3: ，4: ……均有時針、分針重合，所以從4點開始，再過時針、分針第一次重合．

4點到5點的時間裡，時針和分針成直角，在什麼時間？

這是時鐘和行程相結合的一個型別，可用原題的方法一求解。難度不大。但是要注意題目有兩個答案，即時針和分針重合和時針、分針位於時針兩側的情形。

38. 設有十個人各拿著一隻提桶同時到水龍頭前打水，設水龍頭注滿第一個人的桶需要1分鐘，注滿第二個人的桶需要2分鐘，…….如此下去，當只有兩個水龍頭時，巧妙安排這十個人打水，使他們總的費時時間最少.這時間等於_________分鐘.

125

不難得知應先安排所需時間較短的人打水．

不妨假設為：

第一個水龍頭

第二個水龍頭

第一個

第二個

第三個

第四個

第五個

顯然計算總時間時，A、F計算了5次，B、G計算了4次，C、H計算了3次，D、I計算了2次，E、J計算了1次．

那麼A、F為1、2，B、G為3、4，C、H為5、6，D、I為7、8，E、J為9、10．

所以有最短時間為(1+2)×5+(3+4)×4+(5+6)×3+(7+8)×2+(9+10)×1＝125分鐘．

評註：下面給出一排隊方式：

第一個水龍頭

第二個水龍頭

第一個

第二個

第三個

第四個

第五個

可是，如果反過來，你排隊在前，這位阿姨請你讓她先理，你很難同意她的要求，而且大家都認為她的要求不合理，這是為什麼呢？

可以看到，一個水龍頭時的等待總時間演算法是：

S＝A+A+B+A+B+C+A+B+C+D+A+B+C+D+E=5A+4B+3C+2D+E

所以，要想使總時間S最小，則要A<B<C<D<E.

兩個水龍頭可參見排隊方法，但排隊方法不唯一。有一個原則:

（A+F）<(B+G)<(C+H)<(D+I)<(E+J)

45. 有一列數，第一個數是133，第二個數是57，從第三個數開始，每個數都是它前面兩個數的平均數，那麼，第16個數的整數部分是_______．

由已知：第三個數＝(133＋57)÷2＝95，第四個數＝(57＋95)÷2＝75，第五個數＝(76＋95)÷2＝85.5，第六個數＝(85.5＋76)÷2＝80.75，第七個數＝(80.75＋85.5)÷2＝83.125，第八個數＝(83.125＋80.75)÷2＝81.9375，第九個數＝(81.9375＋83.125)÷2＝82.53125．第十個數＝(81.9375＋82.53125)÷2＝82.234375，從第十一個數開始，以後任何一個數都在82.53125與82.234375之間，所以，這些數的整數部分都是82，那麼，第16個數的整數部分也是82．

入學試題模擬小升中奧數