曲線與方程”教學設計說課稿
一、教學內容與內容解析
1．內容：“曲線與方程”是《普通高中數學課程標準》規定的教學內容：理科選修2-1的2.1.1的內容,主要包括（1）曲線的方程與方程的曲線概念；（2）求曲線的方程的一般方法(步驟)；（3）座標法的基本思想與研究的基本問題.
2．內容解析：
在平面直角座標系建立以後，點座標(有序實數對)；平面曲線(點的集合或軌跡)二元方程.因此, 曲線的方程是幾何曲線的一種代數表示，方程的曲線則是曲線的方程的一種幾何表示。曲線和方程的這種相互表示，揭示了幾何中的“形”與代數中的“數”的統一結合。曲線與方程的相互轉化，豐富了研究幾何問題數學方法，產生一門新數學學科---解析幾何，其方法論的意義影響深遠，更便於人們在數字化時代，用計算機工具研究處理幾何問題。
研究曲線與方程的目的是把曲線的幾何特徵轉化為數量關係（方程），並通過代數運算處理已得到的數量關係,進而得出曲線的幾何性質以及研究他們之間的相互關係，並達到利用曲線為人們服務的目的．因此，通過這一部分內容學習，可以加深學生對數學中的代數方法的認識，也能夠讓學生更好地體會數學的本質．
“曲線和方程”是解析幾何中最基本（奠基）內容，是學生體會並理解圓錐曲線與其方程的基礎。不但為學習橢圓、雙曲線、拋物線內容做準備，而且為學習研究其他曲線提供了理論和方法的準備．因此，教學時不僅要讓學生學習如何求曲線的方程，而且要通過這一內容培養學生的座標法思想，使學生明白求出曲線方程的真正意義在於利用曲線的方程去研究曲線.
本節中的“曲線與方程”的概念，它是對以前學過的函式及其圖象、直線的方程、圓的方程等數學知識的思想方法提升、深化，是研究問題“由特殊到一般，再到特殊”整個過程的一個階段。它刻畫了曲線（幾何圖形）和方程（代數關係）間的一一對應關係，並根據曲線與方程的對應關係，介紹了求解曲線方程的一般方法，並要求學生能通過方程來處理一些簡單的幾何問題，從而達到培養學生“初步通過研究方程來研究曲線的幾何性質”目的。“數形結合思想”在本章中得到了充分體現，貫穿於研究圓錐曲線的全過程，
二、教學目標與目標解析
1．目標：
（1）通過例項理解曲線的方程與方程的曲線的概念，能判斷已經學習過的特殊的曲線與方程之間是否具有互為表示的關係；
（2）通過例項體會求曲線的方程的基本步驟，能求出給定幾何特徵的曲線的方程；
（3）通過例項體會不同的平面直角座標系對同一曲線方程的影響，體會如何“恰當”地建立平面直角座標系.
（4）通過一些簡單曲線的方程及其研究，體會座標法的基本思想及簡單應用．
2．目標解析：
教學目標（1）和（2）是本節課的教學重點，教學時落實好目標（1）、（2）和（3）是實現教學目標（4）的前提與保證.
在學生通過函式y =f(x)及其圖象、直線與方程、圓與方程的學習，對曲線的方程與方程的曲線這些概念初步認識的基礎上，現在的任務是要建立曲線與方程之間的一般性的概念，讓學生能從“定義”的角度去理解這些概念.
教學目標（3）是學生初學時不易達到的目標，教學時要提供學生熟悉的曲線（比如直線，圓等）在不同座標系中的方程的簡潔程度，讓學生體會建立座標系時應該關注的要點．
對許多與曲線有關的具體問題而言，原本是沒有座標系的．因此，通過這樣的問題，可以使學生體會如何建立適當的座標系，求出問題中曲線的方程，並通過曲線的方程幫助解決問題，以便實現教學目標（4）．
三、教學問題診斷分析
1．如何理解曲線與其方程之間的關係？學生可以很流利地背出曲線與其方程應該滿足的兩條，但是如何證明“一條曲線與一個方程之間具有互為表示的關係”，這是學生學習時可能遇到的第一個教學問題. 這個問題可以結合“直線與其方程”、“圓與其方程”進行說明．
2．在求曲線的方程時，如何建立平面直角座標系？這是學生會遇上的第二個教學問題，也是本節課的教學難點之一．教學時，應通過例項，幫助學生總結出建立座標系的基本要點，並用具體問題讓學生練習進行體會．
3．在將曲線上的點應該滿足的幾何特徵轉化為點的座標應滿足的等式後，常常遇上“將所得等式化簡得到所求方程”的問題．對於有些複雜的等式，化簡是一個學生不易把握的問題，學生在此極易出錯，這是第三個教學問題.教學時不能因為這個問題而使教學偏離重點，因而宜使用資訊科技工具通過對比表示驗證方法解決這個問題.
4．學生學習時，可能會因更多地關注代數運算而忽略數學思想的提煉，這個教學問題的解決，需要教師有目的地進行引領.
四、教學支援條件
1．在進行本節課的教學時，學生已經在數學必修1中學習了函式y =f(x)及其圖象，在數學必修2中學習了直線與方程、圓與方程，這些內容是學生理解曲線與方程概念的重要基礎，因此教學時應充分利用這一教學以備條件，引導學生多進行歸納與概括.
2．曲線與方程是數形結合的典範，教學這一內容時會涉及大量圖形的繪製與方程的簡化等代數運算，因此，《幾何畫板》是重要的支援條件，教學中應充分利用這一工具，不僅可以節省大量時間用於學生思考，而且可以對實際問題中的資料形象地進行演示分析.
五、教學過程設計
[問題1]請同學們閱讀P34的內容，對每個例項用簡練的兩句話進行概括總結，（1）第一、三象限角平分線和二元方程x=y（或x-y=0）之間有什麼對應關係？（2）圓和二元方程之間有什麼對應關係？
在座標系中，
（1） 第一、三象限角平分線上任一點的座標都是二元方程x-y=0的解；
（1’） 圓上任一點的座標都是二元方程的解；
（2） 以二元方程x-y=0的（任一）解為座標的點都在第一、三象限角平分線上。
(2’) 以二元方程的（任一）解為座標的點都在圓上。
意圖：從學生熟悉的曲線與方程的特例出發，為引出曲線的方程與方程的曲線的概念做鋪墊.
師生活動：讓學生嘗試直線與方程、圓與方程中，“曲線上的點與二元方程（實）解之間的對應關係”的要求；教師向“一般曲線上的點與一般二元方程（實）解之間的對應關係” 的要求上進行引領，為介紹曲線的方程與方程的曲線的概念再做準備.
[問題2] 在座標系中，對一般的曲線與二元方程，你能給出曲線的方程和方程的曲線的概念嗎？
意圖：給出曲線的方程與方程的曲線的概念.
師生活動：讓學生先概括表達，然後教師引領學生閱讀教材上的“定義”，給出曲線的方程和方程的曲線的概念.最後形象化給出：
[問題3]試談一談，我們對“方程f(x,y)=0是曲線的方程”、 “曲線C是方程f(x,y)=0的曲線” 的概念掌握，應把握哪些方面呢？
意圖：加深對曲線的方程與方程的曲線的概念中關鍵方面的理解.
