《整式的運算》教案設計

《整式的運算》教案設計

●課時安排

18課時

第一課時

●課題

§1.1整式

●教學目標

(一)教學知識點

1.在現實情景中進一步理解用字母表示數的意義，發展符號感.

2.瞭解整式產生的背景和整式的概念，能求出整式的次數.

（二）能力訓練要求

1.能從具體情景中抽象出數量關係和變化規律，使學生經歷對具體問題的探索過程，培養符號感.

2.進一步培養學生認識特殊與一般的辯證關係.

（三）情感與價值觀

通過豐富有趣的現實情景，使學生經歷從具體問題中抽象出數量關係，在解決問題中瞭解數學的價值，發展“用數學”的信心.

●教學重點

單項式的係數、次數，多項式的項數、次數等概念.

●教學難點

對整式有關概念的理解.

●教學方法

講授——自主探索相結合.

通過學生自主探索現實情景中用字母表示數的問題，認識代數式的作用.在此基礎上，通過教師講解，掌握整式的有關概念.

●教具準備

1.教師所用三角板. 小黑板

●教學過程

Ⅰ.創設問題情景，引入新課

［師］在七年級上冊中，我們已經學習了用字母表示數，代數式等內容，這節課我們進一步認識代數式的表示作用.

例如：很多小城鎮裡都有水塔，水塔可以用來儲水，維持水壓，每天水都不停地流進和流出水塔.一般地，白天，當人們從事生產活動時，流出水塔的水比流進水塔的水多；夜晚，當人們休息時，流進水塔的水比流出的水多.

（1）如果水以每小時a升的速度流進水塔，那麼4小時後，流進水塔多少升水，若a=20000升，計算一下結果；

（2）如果水以每小時a升的速度流進水塔，同時又以每小時b升的速度流出水塔，那麼4小時後，水塔裡的儲水量變化了多少？

［生］（1）4小時後，流進水塔的水為4a升；當a=20000升時，4小時後，流進水塔的水為：4a=4×20000=80000升；

（2）4小時後，水塔裡的儲水量變化了(4a-4b)升.

［師］在上述問題中列出的代數式4a,4a-4b都是整式，這節課我們就來學習整式的概念.

Ⅱ.在實際情景中，明確整式的有關概念

出示投影片（§1.1 A):問題串

小明房間的窗戶如圖1－1所示，其中上方的裝飾物由兩個四分之一圓和一個半圓組成（它們的半徑相同）.

圖1－1

（1）裝飾物所佔的面積是多少？

（2）窗戶中能射進陽光的部分的面積是多少？（窗框面積忽略不計）

（3）一個塑料三角尺如圖1－2所示，陰影部分所佔的面積是 ；

圖1－2

（4）某校學生總數為x,其中男生人數佔總數的 ，男生人數為 ；

（5）一個長方體的底面是邊長為a的正方形，高是h，體積是 .

［師生共析］（1）裝飾物是由兩個四分之一圓和一個半圓組成，它們的半徑相同，由圖中的已知條件可知半徑為 ,所以裝飾物所佔的面積恰好是半徑為 的一個圓的面積即 ;

(2)窗戶中能射進陽光的部分的面積應該是窗戶的面積與裝飾物所佔面積的差即ab- ;

(3)塑料三角尺陰影部分所佔的面積是 ab- mn;

(4)男生人數為 x;

(5)這個長方體的體積是a2h.

［師］我們觀察上面列出的幾個代數式可以發現：4a,, x,a2h等，都是數字與字母的乘積.例如4a是4與a的積， 是 與b2的積， x是 與x的積，a2h是1與a2h的積.像這樣的代數式我們把它們都叫做單項式（monomial).其中的數字因式如“4”“ ”“ ”“1”是單項式的.係數.

一個單項式中，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數.

哪位同學能給我分析一下上面幾個單項式的次數呢？

［生］4a的次數是1次； b2的次數是2次； x的次數是1次；a2h的次數是3次.

［師］很好！你能給大家解釋一下a2h這個單項式的次數為什麼是3次嗎？

［生］這是因為a2h這個單項式中含字母a和h.而a的指數是2，h的指數是1，所有字母的指數和當然是1+2=3嘍.

［師］這位同學很仔細，h的指數是1，這一點很容易被部分同學誤認為是0.h的指數應是1，只不過作為指數時省略不寫，你還能回憶起什麼時候“1”可以省略不寫嗎？

［生］“1”作為係數時，“1”作為一個字母的指數時，“1”作為分母時.

［師］同學們總結的很好.

［生］單獨的一個數或一個字母是單項式嗎？

［師］是.單獨的一個字母a,我們可以看成1?a,所以單獨的一個字母系數是1，次數也是1，單獨的一個非零的數的次數是0.

［生］這就是說，我們學過的所有有理數都是單項式.

［師］是的.

［生］代數式4a－4b,ab－ b2, ab－ mn,它們是什麼樣的式子呢？

［師］代數式4a－4b是單項式4a,－4b的和，像這樣的幾個單項式的和所形成的代數式，我們把它叫做多項式.請問：ab－ b2, ab－ mn是哪些單項式的和呢？

［生］ab－ b2這個多項式是ab與－ b2的和； ab－ mn是 ab與－ mn的和.

［師］所以我們說ab－ b2這個多項式有兩項，分別是ab,－ b2. x2y+2y－1有幾項呢？

［生］ x2y+2y－1有三項，分別是 x2y,2y,－1.

［師］每一項的次數是多少呢？

［生］ x2y次數是3次，2y的次數是1次，－1的次數是0.

［師］在一個多項式中，次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數.x2y這一項在 x2y+2y－1中次數最高，因此我們把 x2y的次數3作為多項式 x2y+2y－1的次數，即 x2y+2y－1是一個三次三項式.那麼ab－ b2,ab－ mn是幾次幾項式呢？

［生］它們都是二次二項式.

［師］我們剛才討論了單項式和多項式，而且還知道了單項式的係數、次數；多項式的項數、次數.我們也就知道了整式，因為單項式和多項式統稱為整式.研究單項式、多項式就是在研究整式.

在研究單項式和多項式的概念時，我們注意到在數字和字母之間只出現了乘法、加法、減法（可轉化為加法）的運算，沒有出現2÷x即 ,或x÷2即 這樣的式子，那麼 , 是整式嗎？同學們不妨討論一下.

［師生共析］ 可以寫成 ?x,所以 是單項式，而 是數字與字母的商，所以不是單項式，更不是整式，所以整式最顯著的特徵是字母不能作分母.

Ⅲ.議一議

出示投影片（§1.1 B)

小紅和小蘭房間窗戶的裝飾物如圖1－3所示，它們分別由兩個四分之一圓和四個半圓組成（半徑分別相同）.

圖1－3

（1）窗戶中能射進陽光的部分的面積分別是多少？（窗框面積忽略不計）

（2）你能指出其中的單項式或多項式嗎？它們的次數分別是多少？

［生］左圖小紅房間的裝飾物所佔的面積相當於半徑為 的圓的面積的一半，即 b2.窗戶中能射進陽光的部分的面積為ab－ b2.

右圖小蘭房間的裝飾物所佔面積是半徑為 的兩個小圓的面積，即2× b2= b2.窗戶中能射進陽光的部分的面積是ab－ b2.

［生］ab－ b2和ab－ b2它們都是多項式，且次數都是2次.

Ⅳ.練一練

1.隨堂練習（課本P4）

下列整式哪些是單項式，哪些是多項式？它們的次數分別是多少？

a,－ x2y,2x－1,x2+xy+y2

解：單項式：a,－ x2y;次數分別是1次和3次.

多項式：2x－1,x2+xy+y2;次數分別是1次和2次.

2.補充練習

（1）下列說法正確的是（ ）

A.單項式A的係數是0

B.單項式a的次數是0

C. 是單項式

D.1是單項式

（2）關於2×103?a,下列說法中正確的是（ ）

A.係數是2，次數是1

B.係數是2，次數是4

C.係數是2×103，次數是0

D.係數是2×103，次數是1

（3）已知出租汽車行駛3千米以內（包括3千米）的車費是7元，以後每行駛1千米，再加1元.如果某人坐出租汽車行駛了m千米（m是整數，且m≥3)，則車費是（ ）

A.(7+m)元 B.（4+m)元

C.（7－m)元 D.（3+m)元

（4）下列各式中，哪些是單項式？哪些是多項式？哪些不是整式？

－2a2, xy, (m－n),0, ,1+ ,x2+ +1,x

(5)寫出係數是 ，含有字母a、b、c的五次單項式.

解：（1）D（2）D（3）B

（4）單項式：－2a2, xy,0,x;

多項式： (m－n),1+ ；

不是整式： ,x2+ +1

(5)a3bc,a2b2c,a2bc2,ab2c2,ab3c,abc3.

Ⅵ.課時小結

這節課我們主要學習了整式的概念，特別整式中單項式和多項式的次數.在現實情景中進一步理解了用字母表示數的意義，發展符號感.

Ⅶ.課後作業

課本P5習題1.1問題解決1

其它題做為課外作業

Ⅷ.活動與探究

已知多項式3xn－2－2xn－xn+1是四次三項式，則單項式(2－n)xn－1yn+1的係數、次數分別是多少？

［過程］根據多項式次數的定義，可以確定n的值.因為n+1,n,n－2相比較，n+1最大，所以n+1=4,n=3.把n=3代入(2－n)xn－1?yn+1中，單項式的係數、次數都可以確定.

［結果］根據題意，得n+1=4,n=3;把n=3代入(2－n)xn－1yn+1中得單項式－x2y4.所以－x2y4的係數為－1，次數為6次.

●板書設計

§1.1整式

1.單項式：數和字母的積的代數式為單項式

①單項式的係數：單項式中的數字因數；

②單項式的次數：單項式中所有字母的指數和；

③單獨的一個數和一個字母也是單項式；

④單獨的一個非零數次數是0.

2.多項式：幾個單項式的和

在一個多項式中，次數最高項的次數叫做多項式的次數.

3.課堂練習：（由學生口答）