奧數練習題及參考答案關於差的變換

難度：

對任意兩個不同的自然數，將其中較大的數換成這兩數之差，稱為一次變換。如對18和42可下面進行這樣的連續變換：

18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。

【答案】

如果兩個數的`最大公約數是a，那麼這兩個數之差與這兩個數中的任何一個數的最大公約數也是a。因此在每次變換的過程中，所得兩數的最大公約數始終不變，所以最後得到的兩個相同的數就是它們的最大公約數。因為12345和54321的最大約數是3，所以最後得到的兩個相同的數是3。說明這個變換的過程實際上就是求兩數最大公約數的輾轉相除法。