函式和不等式專項訓練題
一、選擇題
1.(2014?北京卷)下列函式中，定義域是R且為增函式的是?( ).
A.y=e-x ?B.y=x3
C.y=ln x ?D.y=|x|
解析 依據函式解析式，通過判斷定義域和單調性，逐項驗證.A項，函式定義域為R，但在R上為減函式，故不符合要求;B項，函式定義域為R，且在R上為增函式，故符合要求;C項，函式定義域為(0，+∞)，不符合要求;D項，函式定義域為R，但在(-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞)上單調遞增，不符合要求.
答案 B
2.(2014?臨沂一模)函式f(x)=lnxx-1+x12 的定義域為?( ).
A.(0，+∞) ?B.(1，+∞)
C.(0,1) ?D.(0,1)∪(1，+∞)
解析 要使函式有意義，則有x≥0，xx-1>0，
即x≥0，x?x-1?>0，解得x>1.
答案 B
3.(2014?江西卷)已知函式f(x)=a?2x，x≥0，2-x，x<0(a∈R)，若f[f(-1)]=1，則a=??( ).
A.14 ?B.12
C.1 ?D.2
解析 根據分段函式的解析式列方程求字母的取值.
由題意得f(-1)=2-(-1)=2，f[f(-1)]=f(2)=a?22=4a=1，∴a=14.
答案 A
4.函式f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y=ex關於y軸對稱，則f(x)=??( ).
+1 ?-1
C.e-x+1 ?D.e-x-1
解析 與曲線y=ex圖象關於y軸對稱的曲線為y=e-x，函式y=e-x的圖象向左平移一個單位得到函式f(x)的圖象，即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.
答案 D
5.(2014?山東卷)已知函式y=loga(x+c)(a，c為常數，其中a>0，a≠1)的圖象如圖，則下列結論成立的'是??( ).
A.a>1，c>1
B.a>1,0
C.01
D.0
解析 依據對數函式的圖象和性質及函式圖象的平移變換求解.由對數函式的圖象和性質及函式圖象的平移變換知0
答案 D
6.(2016?浙江卷)已知x，y為正實數，則?( ).
A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y ?B.2lg(x+y)=2lg x?2lg y
C.2lg x?lg y=2lg x+2lg y ?D.2lg(xy)=2lg x?2lg y
解析 2lg x?2lg y=2lg x+lg y=2lg(xy).故選D.
答案 D
7.(2014?安徽卷)設a=log37，b=21.1，c=0.83.1，則?( ).
A.b
C.c
解析 利用“媒介”法比較大小.∵a=log37，∴12.∵c=0.83.1，∴0
答案 B
二、填空題
8.已知f(x)=ln(1+x)的定義域為集合M，g(x)=2x+1的值域為集合N，則M∩N=________.
解析 由對數與指數函式的知識，得M=(-1，+∞)，N=(1，+∞)，故M∩N=(1，+∞).
答案 (1，+∞)
9.(2014?大綱全國卷改編)奇函式f(x)的定義域為R.若f(x+2)為偶函式，且f(1)=1，則f(8)+f(9)=______________.
解析 由函式的奇偶性和對稱性推出週期性，利用週期性求函式值.因為f(x)為R上的奇函式，所以f(-x)=-f(x)，f(0)=0.因為f(x+2)為偶函式，所以f(x+2)=f(-x+2)，所以f(x+4)=f(-x)=-f(x)，所以f(x+8)=f(x)，即函式f(x)的週期為8，故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.
答案 1
10.(2014?新課標全國Ⅰ卷)設函式f(x)=ex-1，x<1，x13， x≥1，則使得f(x)≤2成立的x的取值範圍是________.
解析 結合題意分段求解，再取並集.當x<1時，x-1<0，ex-1
答案 (-∞，8]
11.(2016?濟南模擬)已知函式f(x)=x3+x，對任意的m∈[-2,2]，f(mx-2)+f(x)<0恆成立，則x的取值範圍是________.
解析 f′(x)=3x2+1>0，∴f(x)在R上為增函式.
又f(x)為奇函式，由f(mx-2)+f(x)<0知，f(mx-2)
令g(m)=mx+x-2，由m∈[-2,2]知g(m)<0恆成立，可得g?-2?=-x-2<0，g?2?=3x-2<0，∴-2
答案 -2，23
12.已知函式y=f(x)是R上的偶函式，對?x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.當x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2時，都有f?x1?-f?x2?x1-x2<0，給出下列命題：
①f(2)=0;
②直線x=-4是函式y=f(x)圖象的一條對稱軸;
③函式y=f(x)在[-4,4]上有四個零點;
④f(2 014)=0.
其中所有正確命題的序號為________.
解析 令x=-2，得f(-2+4)=f(-2)+f(2)，解得f(-2)=0，因為函式f(x)為偶函式，所以f(2)=0，①正確;因為f(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x)，f(-4-x)=f(-4-x+4)=f(-x)=f(x)，所以f(-4+x)=f(-4-x)，即x=-4是函式f(x)的一條對稱軸，②正確;當x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2時，都有f?x1?-f?x2?x1-x2<0，說明函式f(x)在[0,2]上是單調遞減函式，又f(2)=0，因此函式f(x)在[0,2]上只有一個零點，由偶函式知函式f(x)在[-2,0]上也只有一個零點，由f(x+4)=f(x)，知函式的週期為4，所以函式f(x)在(2,6]與[-6，-2)上也單調且有f(6)=f(-6)=0，因此，函式在[-4,4]上只有2個零點，③錯;對於④，因為函式的週期為4，即有f(2)=f(6)=f(10)=…=f(2 014)=0，④正確.
答案 ①②④
三、解答題
13.已知函式f(x)=loga(x+1)(a>1)，若函式y=g(x)的圖象上任意一點P關於原點對稱的點Q的軌跡恰好是函式f(x)的圖象.
(1)寫出函式g(x)的解析式;
(2)當x∈[0,1)時總有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值範圍.
解 (1)設P(x，y)為g(x)圖象上任意一點，則Q(-x，-y)是點P關於原點的對稱點，因為Q(-x，-y)在f(x)的圖象上，所以-y=loga(-x+1)，
即y=-loga(1-x)(x<1).
(2)f(x)+g(x)≥m，
即loga1+x1-x≥m.
設F(x)=loga1+x1-x，x∈[0,1).
由題意知，只要F(x)min≥m即可.
因為F(x)在[0,1)上是增函式，所以F(x)min=F(0)=0.
故m的取值範圍是(-∞，0].
14.已知二次函式f(x)=ax2+bx+1(a>0)，F(x)=f?x?，x>0，-f?x?，x<0.若f(-1)=0，且對任意實數x均有f(x)≥0成立.
(1)求F(x)的表示式;
(2)當x∈[-2,2]時，g(x)=f(x)-kx是單調函式，求k的取值範圍.
解 (1)∵f(-1)=0，∴a-b+1=0，
∴b=a+1，
∴f(x)=ax2+(a+1)x+1.
∵f(x)≥0恆成立，
∴a>0，Δ=?a+1?2-4a≤0，
即a>0，?a-1?2≤0.
∴a=1，從而b=2，∴f(x)=x2+2x+1，
∴F(x)=x2+2x+1 ?x>0?，-x2-2x-1 ?x<0?.
(2)由(1)知，g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.
∵g(x)在[-2,2]上是單調函式，
∴k-22≤-2或k-22≥2，
解得k≤-2或k≥6.
所以k的取值範圍是(-∞，-2]∪[6，+∞).
15.已知函式f(x)=ex-e-x(x∈R且e為自然對數的底數).
(1)判斷函式f(x)的奇偶性與單調性;
(2)是否存在實數t，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立?若存在，求出t;若不存在，請說明理由.
解 (1)∵f(x)=ex-1ex，且y=ex是增函式，y=-1ex是增函式，所以f(x)是增函式.由於f(x)的定義域為R，且f(-x)=e-x-ex=-f(x)，所以f(x)是奇函式.
(2)由(1)知f(x)是增函式和奇函式，∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x∈R恆成立
?f(x2-t2)≥f(t-x)對一切x∈R恆成立
?x2-t2≥t-x對一切x∈R恆成立
?t2+t≤x2+x對一切x∈R恆成立
?t+122≤x+122min對一切x∈R恆成立
?t+122≤0?t=-12.
即存在實數t=-12，使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立.
