關於函式的習題及答案
1．(2010年大學聯考天津卷)設a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，則()
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
解析：選D.a＝log54＜1，log53＜log54＜1，b＝(log53)2＜log53，c＝log45＞1，故b＜a＜c.
2．已知f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上遞減，那麼f(x)在(1，＋)上()
A．遞增無最大值 B．遞減無最小值
C．遞增有最大值 D．遞減有最小值
解析：選A.設y＝logau，u＝|x－1|.
x(0,1)時，u＝|x－1|為減函式，a1.
x(1，＋)時，u＝x－1為增函式，無最大值．
f(x)＝loga(x－1)為增函式，無最大值．
3．已知函式f(x)＝ax＋logax(a＞0且a1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為loga2＋6，則a的值為()
A.12 B.14
C．2 D．4
解析：選C.由題可知函式f(x)＝ax＋logax在[1,2]上是單調函式，所以其最大值與最小值之和為f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(捨去)，故a＝2.
4．函式y＝log13(－x2＋4x＋12)的單調遞減區間是________．
解析：y＝log13u，u＝－x2＋4x＋12.
令u＝－x2＋4x＋120，得－26.
x(－2,2]時，u＝－x2＋4x＋12為增函式，
y＝log13(－x2＋4x＋12)為減函式．
答案：(－2,2]
1．若loga2＜1，則實數a的取值範圍是()
A．(1,2) B．(0,1)(2，＋)
C．(0,1)(1,2) D．(0，12)
解析：選B.當a＞1時，loga2＜logaa，a＞2；當0＜a＜1時，loga2＜0成立，故選B.
2．若loga2logb20，則下列結論正確的`是()
A．0b1 B．0a1
C．a1 D．b1
解析：選B.∵loga2logb20，如圖所示，
0a1.
3．已知函式f(x)＝2log12x的值域為[－1,1]，則函式f(x)的定義域是()
A．[22，2] B．[－1,1]
C．[12，2] D．(－，22][2，＋)
解析：選A.函式f(x)＝2log12x在(0，＋)上為減函式，則－12log12x1，可得－12log12x12，X k b 1 . c o m
解得222.
4．若函式f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和為a，則a的值為()
A.14 B.12
C．2 D．4
解析：選B.當a＞1時，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝12，與a＞1矛盾；
當0＜a＜1時，1＋a＋loga2＝a，
loga2＝－1，a＝12.
5．函式f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定義域上()
A．是增函式 B．是減函式
C．先增後減 D．先減後增
解析：選A.當a＞1時，y＝logat為增函式，t＝(a－1)x＋1為增函式，f(x)＝loga[(a－1)x＋1]為增函式；當0＜a＜1時，y＝logat為減函式，t＝(a－1)x＋1為減函式，
f(x)＝loga[(a－1)x＋1]為增函式．
6．(2009年大學聯考全國卷Ⅱ)設a＝lge，b＝(lg e)2，c＝lg e，則()
A．ac B．ab
C．cb D．ca
解析：選B.∵13，則1e10，
01.則lg e＝12lg elg e，即ca.
∵01，(lg e)2lg e，即ba.
又c－b＝12lg e－(lg e)2＝12lg e(1－2lg e)
＝12lg elg10e20，cb，故選B.
7．已知0＜a＜1,0＜b＜1，如果alogb(x－3)＜1，則x的取值範圍是________．
解析：∵0＜a＜1，alogb(x－3)＜1，logb(x－3)＞0.
又∵0＜b＜1，0＜x－3＜1，即3＜x＜4.
答案：3＜x＜4
8．f(x)＝log21＋xa－x的圖象關於原點對稱，則實數a的值為________．
解析：由圖象關於原點對稱可知函式為奇函式，
所以f(－x)＋f(x)＝0，即
log21－xa＋x＋log21＋xa－x＝0log21－x2a2－x2＝0＝log21，
所以1－x2a2－x2＝1a＝1(負根捨去)．
答案：1
9．函式y＝logax在[2，＋)上恆有|y|＞1，則a取值範圍是________．
解析：若a＞1，x[2，＋)，|y|＝logaxloga2，即loga2＞1，1＜a＜2；若0＜a＜1，x[2，＋)，|y|＝－logax－loga2，即－loga2＞1，a＞12，12＜a＜1.
答案：12＜a＜1或1＜a＜2
10．已知f(x)＝6－ax－4ax1logax x1是R上的增函式，求a的取值範圍．
解：f(x)是R上的增函式，
則當x1時，y＝logax是增函式，
a
又當x1時，函式y＝(6－a)x－4a是增函式．
6－a0，a6.
又(6－a)1－4aloga1，得a65.
656.
綜上所述，65a＜6.
11．解下列不等式．
(1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)；
(2)logx12＞1.
解：(1)原不等式等價於2x＋3＞05x－6＞02x＋3＞5x－6，
解得65＜x＜3，
所以原不等式的解集為(65，3)．
(2)∵logx12＞1log212log2x＞11＋1log2x＜0
log2x＋1log2x＜0－1＜log2x＜0
2－1＜x＜20x＞012＜x＜1.
原不等式的解集為(12，1)．
12．函式f(x)＝log12(3x2－ax＋5)在[－1，＋)上是減函式，求實數a的取值範圍．
解：令t＝3x2－ax＋5，則y＝log12t在[－1，＋)上單調遞減，故t＝3x2－ax＋5在[－1，＋)單調遞增，且t＞0(即當x＝－1時t＞0)．
因為t＝3x2－ax＋5的對稱軸為x＝a6，所以a6－18＋a＞0－6a＞－8－8＜a－6.
